Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
(2.22)
28
Таким образом, если рассматривается калибровочное поле одной точечной
частицы, оно не отличается принципиально от кулонов- ского поля, и
нелинейность уравнений поля себя не проявляет. Однако для двух точечных
частиц решение уже не может быть приведено к кулоновскому виду.
Монополи и инстантоны. В 1969 г. By и Янг, используя
калибровку дМ? = 0, нашли статическое решение уравнений Янга-Миллса,
перепутывающее внутренние и пространственно-временные индексы. Оно
имело вид [30]:
Aai = 8iaJ- xi f (r)/r, Л" = 0; r= (x2)>/2.
Это решение сингулярно при г = 0. Однако, если искать подобное решение
не для свободных SU (2)-калибровочных полей, а для взаимодействующих со
скалярными полями Хиггса сра, можно построить статическое сферически-
симметричное решение, описывающее магнитный монополь без струнных
сингулярностей. Такое решение было впервые получено Тофтом и А. М.
Поляковым в 1974 г. [31]: Aai = - e_1eiaJ- х> f (r)/r; A° = 0; cpa = xa и (r)lr.
Для того, чтобы построить это решение, нужно было предположить, что
локальная симметрия спонтанно нарушена, т. е. в изопространстве имеется
выделенное направление, определяемое триплетом полей Ф" или единичным
киральным векторным полем па, и отождествить в каждой точке У4
направление ц>а с направлением радиус-вектора в обычном пространстве.
Поэтому масса монополя, полученного таким образом, пропорциональна
массе векторных мезонов, ассоциированных с SU (2)-калибровочной
инвариантностью теории: M~mvlg2-
В каком смысле решение Тофта-Полякова описывает магнитный
монополь? Предположим, что электромагнитная группа U (1) является
подгруппой более широкой калибровочной группы с компактной
накрывающей (в данном случае подгруппой SU (2)) и определим физически
наблюдаемое электромагнитное поле как свертку Fp,v = = Па^% -е~1еаьс п° (Vvnc). В статическом сферически-
симметричном случае имеем FliV = ¦- eMVa ra/er3. Следовательно,
полученное выше решение описывает магнитное поле точечного источника
На = - га!ег3, находящегося в начале координат г = 0. Полный магнитный
поток равен - 4я/е. Он удовлетворяет условию квантования'Швингера eg =
1. Тензор F^ удовлетворяет уравнениям
(1/2) eiwtfdvFafi = J%,
откуда видно, что токи сохраняются. Магнитный заряд определяется как
Qm. = (1/4я) J Jmd3r = (- 1/8яе) jeT* гаЪс (рitxa) (д]Пь) (dk п°) сРг.
Из требования однозначности па получаем Qm = (- 3/4яе) Г kcPn =
л!< 1
=- k/e, где k - число оборотов сферы в изопространстве при инте
29
грировании по сфере в обычном пространстве. Поскольку па = га!г, k = 0 или
1. Величина k называется степенью отображения S2 в S2 (топологический
инвариант). Сохранение магнитного заряда не связано с динамикой, так как
вытекает из существования постоянного скаляр-изовекторного поля па и
тождеств Sn,Vapdvd" (паА$) = О, справедливых в отсутствие линейных
сингулярностей в А".
Обобщение этого подхода на группы более высокой размерности, чем SU
(2), приводит к SO (4) и SO (3,1)-калибровочным группам, когда
размерности внутреннего пространства и базы совпадают. Левое решение
такого типа было построено А. А. Белавиным, А. М. Поляковым, А. С.
Шварцем и Ю. С. Тюпкиным в 1975 г. и получило название инстантон.
Инстантонные решения регулярны, локализованы в пространстве и времени
(S < оо), удовлетворяют условию самодуальности тензора поля F"v = ± *F"V =
(i 1/2) е^х^АатЯ- и в евклидовом минимизируют интеграл действия, так как I
<a ^ * V dV ^ 0 и' следовательно, 5 = J (F"v)2 dV > ^ ± | Действие при
описании инстантонов играет
такую же роль, как энергия при описании частиц. Инстантоны называют
также псевдочастицами. Существует только два типа инстан- тонных
решений уравнений SO (4)-калибровочного поля в евклидовом
!) Af = 2Yf (х2 + Я2)-1; Ff> = 46"РЯ2 (x2 + Я2)-2;
2) Л"Э = (Yf - Zf) (x2 + Я2.)-1 + (Yf + Zf) (x2 + Г)"1; Ff = 26$ [Я2. (x2 +
Яр-2 + Я1 (x2 + Я1)-2) + 2ellVai} [Я2. (x2 +
+ X+)-2 - XI (x2 + Я1)-2],
где Yf = - xP6"; Zf = xv gaa' g№'; Я, Я+, Я^ -
масштабные факторы; Я+=^=Я_. Решение 1, полученное А. А. Белавиным и
др., - вещественное, всюду регулярное и исчезающее при х2 оо в
евклидовом Vit становится сингулярным при переходе к пространству
Минковского, так как SO (4) заменяется на SO (3, 1) и вследствие
знакопеременное(tm) метрики возможно х2 + Я2 = 0. Решение 2 описывает пару
псевдочастиц: инстантон - антиинстан- тон.
Инстантон, как и монополь, характеризуется сохраняющимся током, не
связанным с динамикой и дающим в качестве заряда топологический
инвариант: q = j (±) *F"V (±) dix, где (±) = = (1/2) (F"" ± (1/2) гаьс Для
решения \ q = \. Антиинстан-
тон имеет q - - 1. Инстантоны - дальнодействующие поля и должны
учитываться в инфракрасной проблеме. Они описывают квантовые
флуктуации вакуума. SO (4) - калибровочное поле в плоском Vi не является
гравитационным полем.
30
Теория Утиямы и ее развитие. Калибровочные поля общего вида. В
1956 г. Утияма показал [2], что из требования локальной инвариантности
