Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
интеграла действия
5 = | фГ^д^ф^4.*; (2.24)
относительно произвольной полупростой группы Ли можно получить
соответствующее этой группе векторное поле и обычные законы сохранения.
В работе Утиямы постулат о локальной калибровочной инвариантности
лагранжевой теории рассматривался как общий принцип, позволяющий
вводить новые векторные поля и определять форму взаимодействия этих
полей с исходными полями, связывая новые поля с законами сохранения. В
качестве калибровочной группы использовалась произвольная полупростая
группа Ли. Теория строилась с помощью вариационного формализма. Новый
постулат инвариантности позволял ответить на следующие вопросы:
1. Какого типа будет поле А Дх), вводимое на основе требования
инвариантности?
2. Как преобразуется это новое поле при преобразованиях группы Gxr?
3. Какова форма взаимодействия между полем Лц (х) и исходным
полем ф?
4. Можно ли определить новый лагранжиан //(ф, А) по исходному
Цф)?
5. Какие типы уравнений поля ЛДх) окажутся допустимыми?
Действительно, пусть ф подвергается калибровочным преобразованиям
вида
ф' = 5ф, (2.25)
где 5 = 1+/ га(х), I - генератор некоторого представления груп-
а а
пы Либг, относительно которой интеграл действия (2.24) инвариантен. Легко
видеть, что (2.25) получается из бесконечно малых преобразований Gr
заменой параметров произвольными функциями координат. Таким образом,
в каждой точке повторяется алгебра конечной группы Ли Gr, но параметры
преобразований изменяются от точки к точке. Поскольку преобразования
зависят от г функций, а не чисел, будем обозначать группы локальных
калибровок G^r (бесконечная Труппа) [32]. Интеграл действия (2.24) не
инвариантен относительно GxT из-за появления в его вариации
неисчезающих производных от параметрических функций. Чтобы
восстановить инвариантность лагранжиана, достаточно ввести в него
взаимодействие с некоторым векторным полем, заменив обычную производ-
ную "ковариантной" (или компенсирующей) по следующему правилу: = дц
- АЧ. В теории Утиямы это правило уже не яв-
^а
ляется мнемоническим, как у Янга и Миллса, а получается в резуль.
31
тате решения условий инвариантности лагранжиана. Эти условия приведены
в § 5, где строится полная лагранжева теория калибровочных полей.
Условия инвариантности, аналогичные (2.3), определяют транс-
формационные свойства вектор-потенциала калибровочного поля
относительно группы локальных калибровок:
6Л? = fbcAlеь -f д^,
где fie - структурные константы группы Gr, еа - параметры. Такой закон
преобразования Л? обеспечивает одинаковые (т. е. ковариантные)
трансформационные свойства относительно G^r волновой функции ф и ее
ковариантной производной б(Vw\p) = = е°/ Уцф.
а
Зная закон преобразования Л(r), из требований инвариантности
относительно локальных калибровок можно найти лагранжиан свободного
поля А (r), зависящий от А (r) и их первых производных. Про- стейший
релятивистски- и калибровочно-инвариантный лагранжиан имеет вид Ь0 = -
(1/4) ¦F?v/r"v. Произвольный лагранжиан свободного поля Л(r) сводится к
произвольной функции L"[39]. Тензор напряженности калибровочного поля,
иногда называемый просто тензор поля, в общем случае имеет вид = д\^ А^
- - f%c А^ Асуу Он преобразуется относительно GxT однородно: 6F(r)V = flc
Fc eb (x). Опуская в выражении для Ffiv параметрический индекс с помощью
"групповой метрики" gab = fan[ f(tm)b, получаем тензор поля Fqhv = ёаьР^-
Его закон] преобразования:
= fac^bp,veC(x)'
Очевидно, что, поскольку gab не вырождается только для полу- простых
групп, калибровочные поля, полученные Утиямой, соответствуют только
полупростым группам.
Полагая, что полный лагранжиан имеет вид LT = L0 (F) + + L (ф, Фцф),
Утияма записал уравнения калибровочного поля в виде 67.Т/6Л" = 0 и закон
сохранения
дц7?=0 (2.26)
для тока
Ц = -(/ф^/йуц ф + fac А$ dLo/dFlv)- (2.27)
" $
Здесь лагранжиан Ь0 свободного поля Л(r) считается произвольной функцией
F"v, удовлетворяющей ^"условию fabc Fbv dL0/dF^v = 0.
32
Первый член в (2.27) - обычный ток J&, сохраняющийся при глобальной
симметрии L. Второй член появляется из-за локальности симметрии. В
частных случаях абелевой и изотопических групп из (2.26) следуют законы
сохранения электромагнитного и изоспинового токов, совпадающие с
законами сохранения в электродинамике и теории Янга - Миллса. Но
Утияма вывел эти законы не путем дифференцирования уравнений поля, а с
помощью анализа условий локальной инвариантности лагранжиана,
предполагая при этом, что 1) выполняются уравнения поля, т. е. закон
сохранения является слабым, и 2) ток можно определить как
Такое определение тока в совокупности с условиями локальной
инвариантности лагранжиана приводит к (2.27), но не всегда эквивалентно
обычному определению. Для массивных калибровочных полей два
определения тока (2.27) и (2.28) приводят к разным выражениям, поскольку
определение (2.28) чувствительно к потенциальной энергии, а (2.27) - нет.
