Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
В теории Утиямы закон сохранения (2.27) выполняется на экстремалях
8Тт/8Д" = 0 вследствие соотношения, вытекающего из условий
инвариантности лагранжиана:
С точностью до дивергенции антисимметричного тензора отсюда следует
8LT/8A'^ = Поэтому можно сказать, что источником любого калибровочного
поля является сохраняющийся ток.
В работах [32] и [35] было впервые показано, что лагранжева теория
калибровочных полей представляет собой частный случай теорий,
инвариантных относительно бесконечных групп. Вариационный формализм
для бесконечных групп, развитый в этих работах (см. гл. II), позволил
построить последовательную лагран- жеву теорию калибровочных полей,
включающую, в частности, результаты Янга - Миллса и Утиямы.
Группа Лоренца и гравитационное поле. Попытки интерпретировать
гравитацию как калибровочное поле занимают особое место, ибо, во-первых,
это единственное физическое поле, которое непосредственно связано со
структурой пространства - времени, и, во-вторых, при этом локализуются
координатные преобразования (а не калибровочные), что приводит к замене
однородных пространств типа пространства Минковского неоднородными
типа рима- нова пространства, а в самом общем случае-расслоенными про-
странствами [14, 15, 32-36].
Как уже говорилось, если группа Ли локализуется, то алгебра
сохраняется только локально. Точно так же и понятие представления
конечной группы Ли Gr становится локальным. Поэтому прежде чем
рассматривать группы преобразований координат, необходимо ввести наряду
с мировыми координатными сетками,
К = l)L <j-V
(2.28)
д^а ^(6LT/SД").
(2.29)
2 Зак. 1322
33
покрывающими все пространство - время, локальные системы координат
касательного пространства к V,, присоединенные в каждой мировой точке.
Базисные векторы локальной ортогональной системы координат в общей
теории относительности называются реперами. Таким образом, выбирая в
качестве слоя в каждой точке касательное пространство, получаем
касательное расслоение над V4. Неоднородная группа движений плоского
пространства при локализации распадается на две различные по смыслу
группы преобразований: однородная подгруппа переходит в локальную
симметрию, преобразующую реперный базис в каждой точке, а сдвиги-в
группу непрерывных автоморфизмов, отображающих друг на друга локаль-
ные пространства (общековариантную группу). Очевидно, что в этом случае
размерности слоя и базы совпадают.
Гравитационное поле как калибровочное впервые рассматривал Утияма
[2]. Гравитационное поле в теории Утиямы вводится следующим образом.
Рассматриваются две группы преобразований: локальная группа Лоренца,
действующая в касательном пространстве, и группа произвольных точечных
преобразований в У4. Кроме обычных полевых переменных типа волновых
функций частиц в лагранжиан вводятся реперы как 16 новых независимых
переменных. Постулируется определенная зависимость между
ковариантными производными от мировых и реперных компонент тензоров.
Тогда возникает зависимость между калибровочным полем (kl), соот-
ветствующим локальной группе Лоренца, и реперами. Учитывая
соотношение между метрическим тензором и реперами и-предполагая, что
коэффициенты связности в базе симметричны по нижним индексам, Утияма
показывает, что калибровочное поле Ла [kl) выражается через символы
Кристоффеля и, следовательно, совпадает с гравитационным полем. Тогда
тензор напряженности поля F^ikl) выражается через тензор римановой
кривизны У4. С помощью реперов строится линейный по Filv{kl) лагранжиан
калибровочного поля, совпадающий с обычной скалярной кривизной У4.
В теории Утиямы уравнения Эйнштейна получаются следующим
образом. Вводятся две системы координат: локальная лоренцева система (х-
система) и произвольная криволинейная система мировых координат ("-
система). Величины, отнесенные к х-системе, обозначаются латинскими
индексами, а к "-системе - греческими.
Квадрат инвариантной длины бесконечно малого интервала записывается
в виде:
ds2 = gihdx1 dxk = duHuv\
guv (") = фхЧди*) (dxk/duv) gih.
Две группы функций (реперы) А*(ы) = дх'Чди^', h%(u) = дФ!дхк связывают
локальные величины с мировыми. При этом выполняются соотношения:
gihh^h^ = gMV; gpjif hi = gih; = 6';
14
Четыре вектора hу, h[\ Щ, h'l задают в каждой мировой точке локальную
лоренцеву систему отсчета (х-снстсму). Волновые функции QA определяются
по отношению к этой х-системе. В частности, спиноры вводятся как
функции, локальные компоненты которых преобразуются по спинорному
представлению группы лоренцевых вращений локальной системы координат.
Мировые компоненты волновых функций получаются из локальных с
помощью реперов: Qi-1 (и) = h^(u) Qk. Интеграл действия записывается в
виде:
1= J \ h\L (QA, h%,Q A)d4x. Он оказывается инвариантным по отношению к
двум типам преобразований:
1) преобразованию Лоренца
(W)
где ТА - элемент N X /V-матрицы представления группы Лоренцо
ца; при этом и11 не изменяются;
