Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
выражающем постоянство полного числа нуклонов. Умножая (9) на некоторый параметр ц, который имеет физический смысл ра-
/ 3 (?кин + и) \
боты удаления одного нуклона из ядра(|1 =------------------------------j, прибавляя \хА к и варьируя но q7 получаем условие, свя-
зывающее между собой потенциал ф и граничный импульс д:
abhг " . 2аг 2 5 а3 * ,
- 94 Ь -
п2т л* 4
V -5- g*a" (2qf f 1 + - arctg 2?] = 0. (10)
8л8 L 4^ q )
Это уравнение и должно решаться вместе с (1) при граничных условиях (2), (3),
Введем следующие безразмерные переменные:
Ф = Ё?2^зф; ц = - g*atfM; q = Mf, Ь = r-i-.
Зл Зя ю mg2 а
(11)
Тогда система уравнений примет следующий вид-.
ДФ-Ф = -Q3, (12)
222
(13)
причем функция f определена согласно (10) так:
с / \ * 1 1 (1 г $2) 2 , , 1 л ч
/ (s) - 1 Ч-- -------arctg s. (14)
5 S
Перейдем к исследованию получившейся системы. В основной части ядра потенциал, а следовательно, и граничный импульс должны быть почти постоянными. Поэтому удобно исходить, как из нулевого приближения, из бесконечно протяженной ядерной материи. Для нее ДФ = 0 и ее состояние Определяется "химическим потенциалом" М с помощью двух уравнений:
Ф" = <Й. (15)
сt>0-M=Q"+f^/№)• (16)
Пусть в средней части ядра Фи Q мало отличаются от Ф0 и Qu. Положим Ф=Фй-|-Ф', Q==Q0-i-Q/1 где Ф' и Q' считаются малыми. Для них получается система линейных уравнений, которая после исключения Q' приобретает вид
где функция / дается равенством
/(S) = i_Mi±i!). (18)
S"
Множитель при Ф' в правой части может быть как положительным, так и отрицательным. Если он отрицателен, решение имеет осциллирующий характер. Тогда, следовательно, Ф'не имеет тенденции к возрастанию по мере удаления от центра ядра Иначе говоря, плотность везде будет близка к плотности бесконечной ядерной материи и нигде не обратится в нуль. Итак, если выражение, стоящее в скобке, отрицательно, нельзя получить решение, близкое к постоянному в середине ядра и приводящее з то же время к конечным размерам ядра.
Отсюда сразу видно значение обменного члена в энергии взаимодействия. Без него скобка отрицательна при всех Q0>Vi-Но при 1 и без обменного члена оказывается отрицательной ^работа выхода" М, что, очевидно, бессмысленно. Вообще без обменного члена нельзя получить из решения системы (12) - (13) ничего напоминающего свойства ядер.
Если величина в скобке положительна, решение имеет экспоненциально возрастающий характер, поскольку вблизи начала координат оно обязано согласно (2) иметь вид Ф% = С shas, Где
223
а2 -указанная величина в скобке. Поэтому при сколь угодно малом начальном отклонении Ф от Ф0 поправка Ф' станет сравни ма с Ф0, если отойти достаточно далеко от начала. Конечно, тогда уже нужно пользоваться точной системой (12) -(13). Но если начальное значение Ф' было отрицательно, то величина ф' тоже отрицательна. Поэтому плотность материи в какой-то точке обращается в нуль и ядро получает конечные размеры. Разумеется, мы не можем при заданном значении М распоряжаться начала ным значением Ф' по произволу: оно должно быть выбрано так, чтобы при обращении Q в нуль выполнялось условие (3). Но из-за экспоненциального характера решения для Ф' уже малые изменения М будут приводить к изменению радиуса ядра в 2-
3 раза. Поэтому окажется, что энергия связи ядра и его объем будут приближенно линейны в зависимости от атомного веса, ибо в своей основной части ядро близко по состоянию к бесконечно протяженной ядерной материи. Это состояние является нулевым приближением к задаче и отвечает, как указывалось, близким значениям химического потендиала, а поэтому при разных радиусах и атомных весах различается мало.
Из того условия, чтобы выражение в скобках в (18) было положительным, и из (16) вытекают два неравенства:
МЖ - 13s f I - - In (1 -s2) + - arctgs
[
_W = ±.F(s), (19)
1_±in (1 + s2)
S2
= X(s). (20)
По отношению к константе связи они действуют противоположные стороны и могут быть записаны так:
g2 ^ 48л [i т . g2 З.-t m0
he (s) тс* ' hc ^ 10x (s)/га
Здесь m0 - масса мезона, передающего силу, равная hajcy и \i - химический потенциал, который по порядку величины равен 10 Мэв. Исключая отсюда константу связи, приходим к неравенству для массы мезона:
^,т/ 32 JL- Ш. (22)
Г Ч' ts\
В интервале значений 0<s<0,5 отношение х(5)№(5) составляет около 7з" так что получается неравенство mu>m/3, не слишком грубое, если учесть характер приближений. 5 = 0,5 отвечает константа связи g*lhc~ 6,5, т. е. "сильная связь" *.
* При чисто обменных силах можно выбрать
JL.
he т 6
224
В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность Я. Б. Зельдовичу и В. Л. Гинзбургу за ценные дис-куссии.
Литература
1. С. F. Weizsdcker. Z. Phys., 1935, 96, 431.
2. Д. Д. Иваненко, В. Родичев. ДАН СССР, 1950, 70, 605.
3. Г. Бете. Лекции по теории ядра. М., ИЛ, 1949.
4. П. Гомбаш. Статистическая теория атома и се применения. М., ИЛ, 1951,
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ СИЛ *
Метод самосогласованного поля в приближении Томаса - Ферми можно вывести из уравнений Фока путем перехода к ква-зиклассическому представлению матрицы плотности и гамильтониана [1-3]. Такой переход может быть произведен для коор-динатной зависимости матричных элементов, но не для спиновых переменных, так как спину не отвечает никакая классическая величина. Интересно поэтому найти уравнения для матрицы плотности в том случае, когда силы, действующие между частицами, явно зависят от спина и от изотопического спина.
