Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если пучок электронов падает на пластинку нормально к ее поверхности, функция распределения электронов по углам а данной точке внутри пластинки может зависеть только от одной пространственной координаты - расстояния точки от поверхности пластинки.
Функция распределения за единицу времени выразится как
- - flcosft, (8)
d?dtdl
где О - угол между направлением скорости электрона и нормалью к пластинке (внутренней в точке падения). Изменение функции ^(Ф) равно разности между числом электронов, получивших вследствие столкновения компоненту скорости и* = = vcosb, и числом электронов, изменивших это значение v* на любое другое, что можно записать в виде интегрального уравнения
V cos ft = fuU7(e){F(&') - F(&)}dQ\ (9)
dl J
где cos =cos cos 0+sin #sin 0 cos <p; ф - азимут.
Коэффициент cos О в левой части уравнения при малых углах рассеяния близок к единице. Его можно принять равным единице при достаточно тонких пластинках. Ошибка, которая при этом допускается, тем меньше, чем меньше толщина пластинки, и по порядку величины сравнима с толщиной пластинки" умноженной на средний угол рассеяния на единице пути электрона. Числовая величина этой ошибки будет оценена ниже. Итак, мы запишем уравнение (9) как
= f №((c)){F(fF)-F{0)}dQ'. (10)
di J
207
В уравнении (10) легко разделить переменные (ф, V>), пользуясь разложением F(i), ?) по полиномам Лежандра:
F (М) = 2 С"(Е)РП (cos А). (11)
П
Тогда в выражении F(ft') следует воспользоваться теоремой сложения для полиномов Лежандра:
P"(cos&')= 2 (cos ") Р'п (cos 0) г,>П!К (12)
т--л
При подстановке (12) в (10) все члены, содержащие eimv, пропадут при интегрировании по ф, если тФ0. Поэтому (10) получает вид (если перейти от dQf к rf?2e)
2 Рп (cos ft) = - 2л 2 рп (cos ft) С" (V (в) < 1 -Рп (COS 0)} dQ,
п п
или, сравнивая коэффициенты при одинаковых Р", получим
-2я? Г W(B) ii-P"(cos0)}rffi
C"(g) = C"( 0)е J . (13)
Интеграл, стоящий в показателе правой части (13), может быть вычислен, если воспользоваться выражением (7). При этом надо учесть то обстоятельство, что функция f(x) задана только чке-ловой таблицей. Поэтому интеграл не может быть вычислен точно, как функция К- Тем не менее при большом К (т. е> боль-шой энергии электронов) его удается определить с точностью
до членов порядка 1 /у/С по сравнению с In /С и с членом порядка единицы. До сих пор задача решалась таким образом, что опускался и этот последний член, что, несомненно, уступает точности последних экспериментов [3].
Обозначая cos(c) буквой и, опуская пока что постоянные коэффициенты и меняя порядки интегрирования в формулах (7) и (13), запишем интересующий нас интеграл так:
со йо
sin /Or УЧ - и sin Ку ~\f 1 - м
j f(x)dxy(y)dy ) du-'"'*'*9' a-Pn(u)}du.
0 О -I
(14)
Полином Рп(и) разложим в ряд по степеням (1-и), ограничиваясь первым членом разложения. Дальнейшие члены после интегрирования имеют по отношению к нему порядок малости 1IK-Тогда
Р"(и) = 1Ч- п(\+1)-О-")- (15)
208
Введя далее |'l-и в качестве новой переменной, придадим (14) вид
ОО о*
п(п +1) d 1
dK
dxjl f (у) da
1 - cos К (*-у) 1 - cos К {x-\-y)
(JT - yf
(* + yf
(16)
Интеграл, входящий в (16), может быть переписан еще так: | / (Л-) dx j / (у) dy11 ~со* К ~ у) +1 + + у) +
О О
+ К p(x)dx ]f(y)dy .***<*+").
* -г|/
(17)
Займемся прежде всего первым из входящих в (17) интегралов. Преобразуй его по частям, мы приведем интегрирование по у к форме
оо
1 - COS К (у - *) I 1 + COS К (х L- у)
х - У
х -I у
, (18)
причем подставлено /(оо)=0. Так как, далее, /(0) = 1, получим от первого члена (18)
<"
1 - cos Кр
dx " 2 lim
X Е-И)
ОО
- / (е) In е - If' (a-) In л- dx -
СО
OQ
-ж
/Се оо
ос * COS Z
dZ
(19)
Во втором и четвертом интегралах заменим нижний предел интегрирования нулем, так как это не ведет к расходимостям. Далее, в первом и третьем интеграле положим f(e) = 1- Воспользуемся далее равенством
Оо
COS ДГ
dx = -In (Ке + С) + 0 (е),
где С -постоянная Эйлера, равная 0,577. В результате первый и третий интегралы сведутся просто к !п(К+С). Покажем далее, что четвертый интеграл имеет порядок величины I/у/С и в принятом нами приближении может быть опущен. Для этого заменим в нем Кх буквой ? и проинтегрируем его по частям. Будем
209
иметь
00 Оо
?Sr(?M
z
о о
со ос оо oo oo
* Z fl t I
(20)
причем использовано уравнение (5), которому удовлетворяет f. Первый из получившихся интегралов равен нулю. В самом деле, ему легко придать вид
А оо г со с -| ит=А
lim ijdaj^-dZ = Hm a dZ+jdZcosZ =
о a L о J t o=o
= - sin Л + зтЛ (21)
где использовано асимптотическое поведение интегрального косинуса. Наконец, во втором интеграле правой части (20) можно
заменить единицей" так как это не ведет к расходи-
мости и ошибка имеет порядок величины 1//С, как это видно, если разложить по обратным степеням 1 /К и ограничиться первым членом разложения. Именно, употребляя прием, аналогичный (21), и пользуясь формулами для интегралов Френеля, найдем его равным; Следовательно, (19) сводится к виду
2 j^ln/C + C-j f' (x)lnxdxj - (22)
