Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(17)
238
писать просто х вместо полусуммы (лг'+л:'")/2. Подставляя рт(хХ/) в формулы (15) -(17) и переходя к компонентам Фурье от всДичин В-Л, получим для сил обычного типа
Входящие сюда интегралы можно представить в более удоб ном виде. Прежде всего интеграл
есть потенциальная энергия нуклона в самосогласованном поле сил. Потенциал Ф удовлетворяет уравнению
Здесь множитель 2 перед интегралом учитывает возможные ориентации спина. Потенциал симметричных сил не входит \\ уравнения, так как формула (19) содержит только обменный член и явная координатная зависимость выпадает.
В уравнение для протонов входит еще и электростатический потенциал, который подчиняется уравнению Пуассона
Плотности нейтронов и протонов следует искать в виде
(18)
Кулоновские силы приводят к выражению
\ dx,Fl (х -х') \ dp'Р (р'х') = ёФ (V)
(21)
Дф-ааФ = 4ng • 2 f Рdp'.
(22)
(23)
Обменные интегралы легко вычисляются. Так,
(24)
Рт(р, д:) = Р (Р-Рт); Р(г) =
1/(2л)3, г<0,
О , 2>0,
(25)
239
Где Pt - граничный импульс протонов и нейтронов. Отсюда имееч Ра ip'x) dp f dx'Ft {х9) el{p'-p)*' =
¦
_ _ g2 (i tri* "2 I "2\ 1" b РУ- + (r)*
-I-a2) In
2л [2p (Px - p)3 |- a:
- 2a [arctg (Px+p) + arctg {Pz~p)\ +2Px\=-^-y{a\Px, p),
) 2n
(26)
здесь ф - функция, стоящая в фигурных скобках.
Условие стационарности состоит в том, что классическая скобка Пуассона от величины р, должна обращаться в нуль. Если подставить в эту скобку рг в форме (25), обращение скобки в нуль означает просто, что гамильтониан равен постоянному числу, т, е. не зависит от координаты на границе р = Рг{ см. [3, 5]. Отсюда получаем уравнения для нейтронной и протонной компоненты:
-1-С-12<р("; р." р,) -.ну, Р" Р,Ч = -iv (27)
+e-i> + ф (а; Р-i, Р.,) + [2q> (у; pv P-i) f ф (y; Р-i, Р-1)3 4-
2т 2л 2л
е1
Ь*ФС --р_ср(0; Р,>, Р^)= (28)
Здесь согласно (24)
Ф(0; Р^, (29)
Если пренебречь электростатическими членами в (28) , то следует считать просто = Р1=Р_1. как и должно быть в тео-
рии, в которой нейтроны и протоны вполне равноправны. Одни только силы (9), содержащие оператор (Tit?)t не дают устойчивой модели ядра, потому что уравнения (27), (28) без потенциала ф не могут быть удовлетворены при положительных значениях ||т. Величины |лс имеют смысл работы вырывания нуклона из ядра.
Условие связи между числом протонов и числом нейтронов состоит В том, ЧТО Pi и Р_i должны обратиться в нуль в одной точке. Действительно, если в некоторой точке Pt обратится в нуль, а еще не будет равен нулю, то система (20), (21), (25) и (26) станет противоречивой (переопределенной), так как в ней придется считать Р4=0 до тех пор, пока P~t тоже станет равным нулю. Если же и Р~± будут равны нулю в одной и той жеточ-
240
кс R, то для нее достаточно потребовать условий
(30)
(31)
Вместе с очевидными условиями
(ёф idr) г=0=0; (d<DG/dr) г=0=0
(32)
система уравнений является полной и непротиворечивой.
Уравнения самосогласованного поля с учетом кулоновских сил, но без учета обмена и симметричных сил (9) рассматривали Иваненко и Родичев [6], но их решение не удовлетворяет условиям (32), выражающим тот факт, что начало координат не является особой точкой. В работе [1] наша система была несколько упрощена в том смысле, что в уравнение для протонов в функцию подставлялось Р^=Р-и т. е.ке входил граничный импульс нейтронов, а в уравнение для нейтронов не входил граничный импульс протонов. Теперь наши уравнения в этом смысле уточнены, При этом получает обоснование то обстоятельство, что Pt и Р-! обращаются в нуль в одной точке.
]. А. С Компаяеец. ЖЭТФ, 1953, 25, вып. 5(11), 540; см, наст, илд., стр. 225.
2. #¦ Дирак. Основы квантовой механики. М.- Л., ГТТИ, 1932, ivi. XI-а (до-
полн-е автора к рус. переводу).
3. P. Dirac. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1930, 26, 376.
4. П. Гомбаш. Статистическая теория атома. М.,, ИЛ, 1951.
5. А. С, Компанеец. ДАН СССР, 1952, 85, вып. 2, 301; см. наст, изд., стр. 220.
6. Д. Д, Иваненко, В, Родичев. ДАН СССР, 1950, 70, 605.
Как известно, наилучший метод нахождения термов многоэлектронного атома был предложен В. А. Фоком. Метод Фока основан на том, что интеграл f4?*HWdq стационарен для всех
Литература
УРАВНЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ В АТОМЕ *
Совместно с Е. С. Павловским
1. Уравнение для матрицы плотности
* ЖЭТФ, 1956, 31, вып. 3(9), 427.
241
собственных значений гамильтониана Я атома. В частности, этот интеграл имеет абсолютный минимум для основного состояния агома (q обозначает совокупность всех пространственных и спиновых переменных атома). На волновую функцию при этом налагается условие
fivprf? = i. (I)
В методе Фока волновая функция выбирается в виде симметрированного произведения волновых функций отдельных электронов
Ч'=(2!)-,/*3(-)РП1!,'<р0 I2)
Р
(Р означает перестановку переменных отдельных электронов).
Волновые функции ^i(q,) можно всегда считать взаимно ортогональными и нормированными, так как их можно ортогонализо-вагь путем линейной подстановки. Если функция if) выбрана в форме (2), то без дальнейших ограничений общности удобно брать в качестве дополнительного условия, налагаемого на волновую функцию, следующее:
