Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, матрица плотности определяется следующим образом [1, с. 254]:
Р (?. ?') = 2 Ф" (?) Фп (?')- (1)
ч
в методе Фока представляет некоторую (неполную) систему ортогональных функций. Желая учесть зависимость от спина явно, запишем так;
фЛ'7)=Ы*)1Ыв)Х| М. (2)
где s и /-собственные значения спина и изотопического спина, а и т- соответствующие переменные, fv(x)-пространственная волновая функция. Суммирование но s и i в матрице плотности производится от 1 до 2. Поскольку
2 s (о) й (O'') - 6П0-, 2 X, (т) %{х') = Ь^,
5 /
то матрица плотности диагональиа относительно переменных
о и т.
* ЖЭТФ. 1953. 25, вып. 5(11), 540.
8 А. С, Компаньон 225
Покажем теперь, что диагональна и правая часть уравнения движения для матрицы плотности, которое имеет вид
ihdp}dt=Hp-рЯ,
где Я -гамильтониан [1т с. 255, (45)].
Более подробно это уравнение можно записать так:
Здесь //о - кинетическая энергия и энергия частиц во внешнем поле (если оно имеется), В и Л- операторы, зависящие от пар* ных действий между частицами;
Интегрирование в этих формулах включает в себя и сум ми-рояание по спиновым переменным.
В формулы (3) и (4) входит матрица плотности в общем виде (1). Подставим теперь выражения (2) для волновых функций, ограничиваясь сначала зависимостью от обычного спина. Изотопический спин будет введен дальше. Рассмотрим операто' ры V, которые могут иметь три вида спиновой зависимости:
где А -оператор. Векторное обозначение для х будет введено ниже. Матрицы s удовлетворяют условию
Выражение /(В-A)q'4-p{q/f,qf')dqfff для оператора (о) представим гак:
- h (Л h (*(4)) fw (*(6))/да (*(4)) Ь Ю Фг (ой") Ь (d(й)) Ь (а'")Ь
(8)
ih А Р (q, q') = f q") dq'"
dt J
(3)
q"\ qtl))-V (q\ q{i>, q'")} ;J (q{i>q{li) dq^dq'-K
(4)
(5)
(6) (?)
S j j J dx'"dx^dxm\ {x\ x№; xW) 2 6 а'о'6о(%(" x
VW
rs
x [fu (*")MO fw (*(Б))М*(1)) фг(о")^ (o'") {oM)^s (a<4)) -
226
Используя теперь полноту системы спиновых функций, имеем
2 2 <V ((r)") Фг Ю Ь {^') 't's (°U)) =
Г50* 0(4) С($)
- 2 (r)<Т'^",^о(Б)<7(4)^0*аи'в<у(")а(4) =25о'а-;
2 2 (а'') ь (а(4)) (а") Ь (о") =
(9)
я?
<7'*CF^)<j(6)
Ss Vaf* Айв* = 5'^о'-
(10)
Обозначив через p(xy xf) матрицу плотности, зависящую только от пространственных координат, приходим к уравнению, не содержащему спиновой переменной:
|(В-ЛЬ-Р(Л *") dx"r ==
= 2 И I dx"rdx^dxMV1 (х\ х"К х"\ .?<*)) f, {X") ?а (*") X
VW
х[2Д, (х'") fw (*Ю) ¦- /" (х^) /№ (х'")1 =
= j'dx* J(2 fFj (x\ x(5>; x"', *W) p (x^x^) dx^dx^'j V(xm, x")-
- \ Vj (JC', *W; xm, .*">) ,0 (Л<">) dxtodxWp (л(*к ,v')1 . (11)
j
Последний член справа описывает обменное взаимодействие. Оно, как известно, входило у Дирака с неверным множителем, равным двум [3, с, 141].
Возьмем теперь оператор (6). Для него получается
2 2 Яч'с-ваМоЮФ' {<*") 4V Ю ?с (Ofs>) % (0"") =
rs 0"T(j(4)(j(S)
= 2 sa'a"''So(6)<,(4)6<j"c"'60(B}a(4) = 2 Vo*Soft)oW = 0i (12)
ата№а(й) at6)
потому что диагональная сумма всех компонент s равна нулю. Далее,
2 2 stfV"SaWa(4)i|v (о") 1(-, (<jW) т|з_, (a<6>) (о"') =
r$ cw<r<4M5)
- 2 sa/owsa<b)0(4)6;i.044)^o(6)0.<. =
= 2 s<r'0(*)sa(')o"' ~ (S2)g'3" = 36o'o"
a(fi)
(13)
227
8*
Следовательно, уравнение (11) заменится таким: Г (В-АЪ'^Р (x"fy x")d*'" =
= -3 dxr//V2 (х\ xib); х"\ х(,)) р (х'"9 я<5>) dx^dxWР (х(4>, х"),
т. е. содержит только обменный интеграл.
Для взаимодействия вида (7) не обменный член, вполне аналогично (12), тоже даст нуль, а обменный член приводится к виду
благодаря антикоммутативности операторов s*, s^, s2 и тому, что их квадраты равны единице. Следовательно, получится выражение, аналогичное (14), но с .коэффициентом - А2 в правой части.
Теперь нетрудно учесть влияние изотопического спина. В симметричной относительно знака заряда теории этот спин может
входить только в комбинации TjT2 или через единичную матрицу.
Скалярное произведение т,т2, подобно s,s2 оставит только обменный член с коэффициентом - 3. Следовательно, комбинация , | > ¦ >¦ >
(XiTz) (SiS2) должна дать множитель - 9, а (т^) ($Л) (saA) - множитель-ЗА2. Единичная матрица в пространстве изотопического спина даст прямое взаимодействие с множителем 2, а обменное -с множителем - 1. Если при этом входит и обычный спин, прямое взаимодействие исчезает, а обменное получает множитель - 3 или - 1 - Аа.
Остается рассмотреть еще кулоновскую энергию
(И)
(15)
tr(b)
у = Jl M _ -г- \i\___________________________________________________________.1- ^ J_
В прямом члене имеем
если матрица тг приведена к диагональному виду
Соответственно обменный член дает
2 Фт'т" *zT'tto) (\(*>TU) ~
= 2 (6тЧ<Б) - V'rw) (5T<&V " Т*т(б)х-) = г<*>
= Ox'xw -- ^2Х'т" + - 2 (St'-Cw - ^ГТГТ") ^ 4в^/Т"йэтж.
(17)
Таким образом кулонов-ское взаимодействие входит только при значении переменной изотопического спина, равном двум. Обменный член войдет с коэффициентом Va по сравнению с прямым из-за обычного спина [ср. (11)].
Для примера рассмотрим взаимодействие с потенциальной энергией такого вида:
v - {^1 (1 х' - х" 1) + (ттЧ"тт(|)т(1) (Srt'a-'V) (soWeW) v3{\ х'-xW|) 4-
