Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Входящий в (22) интеграл находится нумерически по таблицам /\ При f, меньшем 0,1, следует пользоваться разложением
/(х)=1 -1,589* +-хЧ'+ ... ; (23)
3
окончательно
оо
j }' (х) In xdx =. 0,383. (24)
О
Обратимся теперь к интегралу, входящему в формулу (18). Он распадается на два слагаемых;
00 оо
Jrw
1 ' 1 dy- \ }' (у)
.х - у Х + У
COS /(!(**- у) . cos К (х + у)
dy.
(25)
210
Путем некоторых вычислений удается произвести мажорацию (оценку.верхнего предела величины) второго слагаемого (25),
и оно оказывается по порядку величины не большим 1/у/С Первое слагаемое не зависит от К и содержит только универсальную функцию f. Пользуясь известным интегральным преобразованием Дирихле, нетрудно придать ему вид, в котором числитель и знаменатель (при х-=у одновременно обращаются в нуль (26). Окончательно имеем для первого слагаемого (17) выражение
2 [1пК + С-0,383] -
оо оа
_± С С dxdt. Г Г (*) / fa) - Г (у) F W Г М f (у) + Г (*) f (у)
2 J J лг-у х±у
о о
(26)
Оба двойных интеграла также вычисляются нумерически; первый из них равен -1,08, второй -1,99. Поэтому (26) равно просто 2 In 0,8 К.
Второе слагаемое (17) вычисляется, если подставить его в
(16) и выполнить дифференцирование по К< Тогда оно приобретает простой вид:
\2
(27)
с ошибкой, не превышающей ту, которая допускалась выше. Окончательно (16) сведется к выражению
In (0,8/0, (28)
!да
и разложение, которое мы имеем, получает вид
- 2 л в
F {%, cos в) = 2 С* (°) ехР я (л +1) In (0.8К) Е) Р" (cos 0).
П
К2
(29)
Если рассматривается очень тонкая пластинка, вероятность того, что электрон, пройдя в ней некоторый путь, будет выброшен в обратном направлении многочисленными актами столкновений, очень мала. Также мала вероятность однократного столкновения, сразу отклоняющего электрон на угол, больший 90°. Поэтому в случае рассеяния в тонкой пластинке предполагают, что все электроны, проходящие через се переднюю поверхность, имеют распределение падающего пучка и, следовательно, назад не летит ничего. Считая падающий пучок параллельным, надо
211
полагать
F (0, cos ft) = -6 (1 -cos O'), 2л
(30)
где 6 - дираковская 8-функция. Чтобы удовлетворить граничному условию (30), приравняем С"(0)=-~"-. Поэтому функ-
ция распределения окончательно запишется так:
2п 4-1
e-nUM)tpn ^C0S
n
где
t= 2-^.\п(0МП.
(31)
(32)
Выясним теперь точность, с которой распределение (33) может быть заменено гауссовским распределением при малых углах. Для этого вычислим средние значения величин
(33)
при достаточно малых Ф. Обозначим для краткости cos#=u. Тогда выражению (31) можно придать вид двойного ряда, если воспользоваться разложением экспоненциальной функции и диф~ ференциальным уравнением для полиномов Лежандра;
оо
F{U u)=2
{-if К=о п
к\
f* Vi 2п + 1
п
к
К
п
d /1 d пП
- (1 -и ) -
da du
Pn(u).
(34)
Далее имеем
*к
- (1 - и2) - du du
*2^4^" (ы) (1 -u)md" =
П
К
2
du
К
6(1 -и) (1 -u)mdu =
tK т^К
к\
(35)
так как суммирование по п представляет собой разложение 6-функции по полиномам Лежандра. Обозначение оператора D ясно из (35). Прежде всего, легко видеть, что DK{]-и)(tm)и_^г) обращается в нуль при гп<К.
2)2
Для этого достаточно придать этому выражению вид
Самое последнее дифференцирование понижает степень (1^ы) на единицу, что затем компенсируется множителем (1-и) при производной. Дальнейшее двукратное дифференцирование понижает степень на два, но последующее умножение на (1-и) опять прибавляет единицу к показателю. Так как вторая производная содержится б операторе (/С-1) раз, она понижает степень т на -I), и самая внешняя -первая производная понижает ее еще на единицу. В результате наименьшая степень (1-ы) будет т-К¦ Все прочие члены, получающиеся от дифференцирования сомножителей (1+а)} дают более высокую степень (1-и). Поэтому первый член (35), не обращающийся в
нуль, есть-Dm(l-Следующие члены пропорциональ-
ны более высоким степеням t и при малых толщинах рассеивающего вещества могут быть опущены. Член, который мы удерживаем, приводит (31) к распределению Гаусса, имеющему, таким образом, точность порядка величины t по сравнению с единицей.
Вычислим теперь
Последний член в правой части согласно только что доказан ному равен нулю, и получается
¦Ш
ш!
?Г(1-<_г =о*.
(36)
Имеем
= \ЦГ-1 А (1 -и) (1 -'г и) f (1 -а)т =
du du
= 2m2?>m_1 (1 -af1 + т{т-'г 1 )Dm'1 (1 -uf ]ц=1. (37)
am=2trilam-i
(38)
ИЛИ
flm = 2m(frc!)2. Таким образом,
(39)
оо
(= 4"Т' т! = j
О
213
Следовательно, нам известны все моменты, даваемые функ' циями распределения F. Отсюда F однозначно определяется как
Множитель 1 /2л; отвечает нормировке в отношении азимута. Уравнение (40) и является распределением Гаусса. Мы, однако, оценили точность его в зависимости от толщины пластинки. Далее, из вывода (40) можно определить и те толщины, при копь рых рассеяние электронов практически однократно и не отличается от того, которое имеет место в элементарном акте.
Для этого надо исходить из определения не среднего квадрата, как это иногда делается, а среднего значения четвертой степени угла рассеяния. Именно, средний квадрат угла рассеяния, вычисленный из (1), (7) или (40), всегда возрастает, как первая степень толщины пластинки, и его зависимость от толщины не может, следовательно, служить критерием одно- или многократности рассеяния. Между тем среднее значение четвертой степени при элементарном акте столкновения также пропорционально первой степени /, а при многократном рассеянии пропорционально F-. Как легко видеть, это связано с характером зависимости Сп разложения F от я, именно с тем, что в показательную функцию входит п(п + 1), на чем и построен весь вы-вод (40). Но член д(п+1) является только первым в разложении Рп(и) по степеням (I -w), применявшемся в (15), Следующий член, опущенный нами, меньше в отношении 1//С. Зато, если бы он был учтен, среднее значение содержало бы t: Поэтому те толщины, при которых многократное рассеяние преобладает над однократным, определяются из неравенства
