Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
позволит, очевидно, при любых vx, vy, vz, а найти действительную функцию
f (х, у, 2, (), и существование последней никаких ограничений на
гидродинамические элементы, вообще говоря,
Предположим, однако, что мы имеем дело с движением. Естественно считать
здесь, что и поверхность разрыва будет неподвижна в пространстве, т. е.
что её скорость перемещения (но не скорость распространения) равна нулю:
i поверхности разрыва имеем fxVx+fyVy +fzvz
(/,
V/l+fl+A
...of f -M. f '
~ дх ' J У dv ’ J * ~~ t
| Vn\ = a. (4.20)
Пусть теперь установившееся движение жидкости таково, что скорость везде
меньше местной скорости звука:
I V | < в.
В таком случае, какую бы поверхность 0 мы ни провели через
некую точку Ж, всегда проекция Vп скорости жидкости V в Ж на нормаль я к
поверхности 0 будет меньше, чем а, и равенство (4.20) нигде не будет
иметь места. Напротив, если жидкость движется так,
I V\>a.
то найдутся поверхности 0, проходящие через М, такие, что проекция Vп
скорости V в Ж на нормаль к этим поверхностям будет
в точности равна а. Отсюда вытекает весьма важное следствие.
Если жидкость движется стационарно (установившееся движение) и притом
повсюду с дозвуковой скоростью, то действительные характеристические
многообразия существовать не могут. Напротив, если движение жидкости
совершается со сверхзвуковыми скоростями, то всегда могут быть построены
действительные характеристики. Мы видим, что переход через скорость звука
играет в установившемся движении весьма существенную роль, меняя тип
дифференциальных уравнений движения (эллиптический при дозвуковых
скоростях на гиперболический при сверхзвуковых).
$-5) РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ. ТЕОРЕМА ЦЕМПЛЕНА 29
Наличие действительных характеристик при сверхзвуковых скоростях
значительно облегчает решение задачи о движении. Здесь могут быть
развиты эффективные графические методы решения,
с каковыми мы и познакомимся в соответствующем месте.
Мы вернёмся сейчас к случаю существования сильных разрывов, чтобы
доказать несколько общих теорем, сюда относящихся.
§ б. Распространение сильных разрывов. Теорема Цемплена. Чтобы найти
величину скорости распространения сильного разрыва, прибегнем сначала к
соотношениям (2.15), (2.16). Умножая (2.15) скалярно на я, получим:
peiv„l = lrt. (5Л)
и замечая, что вследствие формулы 6 = N — Vn
IV п\ = — [в]. (5.2)
напишем вместо (5.1)
рЬ(Ь+ — Ь_) = -(р+ — р ). (5.3)
Но по (2.16)
р. ') . : - р_0_, (5.4)
поэтому мы можем написать (5.3) в виде
откуда по (5.4):
и мы можем найти 0_ из соотношения
о V — v о Г о1
(5.5)
Особенно явной станет разница между величиной скорости распространения
слабого разрыва, всегда равной а, и выражением, получающимся из (5.5),
если мы преобразуем (5.5), использовав для этого одно важное следствие
соотношения (2.19). Заметив, что
T—p/Rp и что ср — cv = AR, придадим сначала (2.19) вид
|p9[V-(5.6) Умножим теперь обе части (2.15) скалярно на V^-\-V_:
р0 (V+ + V_) • (V+ - V_) = р0 [ V ? V] = [р] п • (V+ + V.) и в< м Э [ V *
V] в (5.6); получим:
[-Р] п • (У+-1-У-) +-g_ ГЛ] = [руп]. (5.7)
30 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. !
Раскроем знаки разрывов и перенесём все члены в одну сторону; получим:
Р+ <Уп+ + Vn_) — 2p+Vn+ -р_ (Vn+ + Vn_) + 2p_Vn_ +
или после сокращений:
-(Р+ + Р-)1Уя]+^[?]==0. (5.8)
Но по (5.2) и (2.16) можно написать
1^в1=-[в1 =
I можем переписать (5.8):
Р+ + Р- Г 11
Раскрывая, далее, знаки разрыва и отыскивая отношение Р+/р_, j придём к
следующей важной формуле, заменяющей условие (2.19):
(* + 1)р+-(*-1)р_
Р_ ~ (* + 1)р_-(*-1)р+ • (5Л0)
[Р] (* + 1)[р] + (*-1)[р] .
' (* + 1)р_-(*-1)р+ (* + 1)р_-(*-1)|
Следовательно,
[р] _______2*/^__________
[р] ~ (*+1)р_-(*-1)р+
и по (5.5)
(5.11)
(5.12)
Р_ (» + 1)р_-(*-1)р+ '
Наряду с формулой (5.5) отметим выражение
82+=Ш,
Р+ [р]
получающееся умножением (5.5) на р2_ и сравнением с р2+в2+, а также
(5.14)
(5.13)
+ Р+ (*+1)р+-(*-1)Р_ ’
получающееся из (2.16), (5.12) и (5.10).
§ 5] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ. ТЕОРЕМА ЦЕМПЛЕНА 31
Формулы (5.12) и (5.14) показывают, что скорость распространения сильного
разрыва всегда отлична от местной скорости звука. В самом деле, по этим
формулам равенство
одинаково влекут за собой условие р+ = р_; но тогда по (5.10) р+ = р_, а
по (2.15) [ V] — 0, и нет никакого сильного разрыва.
Нетрудно далее убедиться, что если |0+|<а+, то | 0_ | > а_ и наоборот:
если | 0_ | < а_, то | 0+ | > а+.
Если обратиться к стационарным движениям, для которых ДГ = 0, т. е. 0 = —
Vn, то мы получим очень важное следствие: скорость Vп по крайней мере с
одной стороны от поверхности разрыва превосходит местную скорость звука.
Значит, неподвижные поверхности сильного разрыва, так же как и
неподвижные характеристики, могут существовать лишь при наличии
сверхзвуковых скоростей.
Докажем ещё теорему Цемплена: возможны лишь такие сильные разрывы, при
которых
IVJ < 0.
Для доказательства этого положения приходится привлекать второй закон
