Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ударами сжатия.
§ 3. Уравнения газовой динамики в дифференциальной форме. Для той части
жидкости, в которой гидродинамические элементы и их первые производные
остаются непрерывными, мы можем написать уравнения в дифференциальной
форме.
Уравнения движения уже были подробно выведены в ч. 1 из начала Даламбера.
Чтобы получить эти уравнения из (2.1), поделим сначала обе части (2.1) на
разность t2 — tx и перейдём затем к пределу, полагая, что t2—>tx = t.
Получим, очевидно:
~3tf f f PVdz = —f f Pnds. (3-1)
W '(S)'
Мы не можем внести слева дифференцирование под знак интеграла, ибо объём
(т) сам зависит от времени, но мы можем написать,
') Последнее заключаем из уравнения состояния:
Р = ЩТ.
§ 3] УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 19
я лагранжевы координаты:
Jf / = у* f fPVdxdydz = f f jpVDdadbdc,
D =
С другой стороны, из уравнения неразрывности следует, что
pD = Ро,
Ро — Р(а> Ь, с, t0) — pb(a, b, с).
Таким образом
/ / / pVd^~f f f V (а, b, с, 0ро(«. b, c)dadbdc.
iff f PVd' = f ff h^dadbdc.
Возвращаясь к старым переменным и к (3.1), получим окончательно
/ / / р4гл=-//pnds-
(?) (S)
Далее, преобразуем правый интеграл по формуле Грина к объёмному интегралу
и перенесём всё под знак объёмного интеграла. Получим, вследствие
произвольности объёма (т) и предполагаемой непрерывности подынтегральной
функции:
Р 4г = — grad р’ (3-2)
что совпадает с уравнением (4.3) гл. II части первой, если там отбросить
объёмные силы F.
Уравнение неразрывности подробно было выведено в первой части. Это будет
для сжимаемой жидкости
20 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Наконец, уравнение энергии, ес и перейти к пределу, полагая, членов:
(*) ' (S)
Применяя к левой части этого уравнения преобразования, аналогичные тем,
что были применены при выводе уравнения, получим:
(') (5)
Преобразуя левую часть к объёмному интегралу по формуле Грина, перенося
всё в одну сторону и собирая под один знак интеграла,
и вследствие произвольности объёма (т) и непрерывности подынтегрального
выражения
Р^+^4? + ^ = 0. (3-4)
Умножим теперь обе части равенства (3.2) скалярно на V и вычтем из (3.4).
Так как
dV _ d V? V V ’ dt dt 2
V • grad p — div (pV) — p div V,
> записать ещё,
JLC (All
AR v\ d\
22 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ ГГЛ. I
Мы можем говорить о четырёхмерном пространстве (х, у, z, t) и в нём
изображать уже неподвижную гиперповерхность (4.1). Пусть теперь имеется
непрерывная вместе с производными функция ф от четырёх наших независимых
переменных и такая, что на гиперповерхности (4.1) ф(х, у, z, t) — const.
Тогда вдоль гиперповерхности
d^ = ° = ^dx + Wdy+^dz^^-dt' (4 •2)
V-dx + ^-dy + ^ dz + ^Lclt^O, (4.3)
: условие, которое следует наложить на дифференциалы наших координат
вдоль поверхности. Сопоставляя (4.2) и (4.3), заключаем, что во всех
точках поверхности разрыва и для любого момента времени должно быть:
дх дх ду ду dz dz dt ' dt ^ '
где — некоторая функция от координат и времени, определённая на (4.1).
Рассмотрим теперь функцию Ф (х, у, z, t), непрерывную во всём нашем
гиперпространстве и имеющую непрерывные же первые производные по
координатам и времени. Пусть эта функция тождественно равна функции Ф, но
только в положительной области; тогда на поверхности X
Рассмотрим ещё функцию Ф, непрерывную вместе со своими первыми
производными во всём гиперпространстве и такую, что в отрицательной
области ФэФ; тогда на X:
Функция Ф — Ф непрерывна с пространстве и, так как [Ф] = мы можем принять
функцию Ф — Ф за функцию ф предыдущей теоремы, и, если заметить, что на
X, по определению Ф и Ф, будет:
§ 4] СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ. ХАРАКТЕРИСТИКИ 23
мы можем написать:
гйф] гдФ_1 гаФ] df_ &f_
\ ~дх J : L dy J 1 L дг \ : L (М J — дх ? ду ? дг ' dt ’
что можно записать ещё так:
[V®] = ^V/; [^]=рф-^. (4.5)
Условия (4.5) и суть условия совместности, о которых мы говорили-Они
показывают, что достаточно задать одну лишь функцию рф, чтобы определить
затем разрывы всех производных Ф. Достаточно знать также разрывы одной
какой-нибудь производной. Так, например, если разрыв одной из производных
первого порядка равен нулю, то и все производные первого порядка будут на
(4.1) непрерывны.
Формулы (4.5) могут быть ещё представлены путём деления и умножения на
(|02 + (|?)2.+ (g)2 в виде
[УФ] = ХфЯ; = (4.6)
где п — единичный вектор нормали, а /V, по (2.9), — скорость перемещения
поверхности слабого разрыва.
Кроме кинематических условий (4.5), нам следует подчинить разрывы
производных от различных гидродинамических элементов условиям
динамическим, проистекающим оттого, что элементы эти должны, в
положительной и отрицательной областях отдельно, удовлетворять уравнениям
гидродинамики. Считая, что vx, vy, vz, р, р непрерывны, можем написать:
v^ = -p{lr + v-vv}’ |
= v(pV). J (4.7)
+ J
Уравнения наши не содержат производных более высокого порядка, чем
первый. Приписывая один раз всем производным знак плюс, а другой раз знак
минус и вычитая получаемые уравнения друг из друга соответственно, придём
