Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
') Вообще говоря, [G] ф 0, ибо [Vn\ ф 0; величина же N из (2.10) разрыва
не терпит.
16
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
от t{ до t2 в одной области, а ДЕ' — в другой. Предположим, что ДЕ
находится в области отрицательной, а ДЕ' — в положительной. Тогда в
выражении J Jcn^s величина сп, как легко показать, отличается от значения
сп, взятого в точке М ив момент tx, на величину, исчезающую вместе с (t2
— и с г. Замечая, что вследствие (2.5), (2.7) всегда можно написать:
cn = cxcos(n, х) -j— Су COS {п, у) + сгсоз(и, Z), где п — внешняя по
отношению к области (т) нормаль, и сохраняя для нормали к ДЕ (вернее, для
нормали МР) обозначение п, мы должны, очевидно, написать для ДЕ [нормаль,
идущая в сторону положительной области, направлена здесь внутрь (т)]:
Совершенно аналогично этому
(нормаль, идущая в положительную область, направлена здесь во внешнюю
часть пространства). Теперь мы можем написать, очевидно:
/(//'"*)<"=
= е„+-Щ(г — (,) - с,_(I, — (,) + чгЦ12 - (,) + О (1) г ((, -
Собирая вместе полученные оценки, будем иметь:
(.Ч'Л-МЛЧШ-У-
= — {И] + [Сл]} W2 (*2 — *1) + е9г2 (к — tx) + О (1) г (t2 — 1t)2.
Переходя к пределу, полагая (t2 — ^)—>0, а затем и г->0, получим основное
соотношение
[а6] + К1 = 0. (2.11)
Остаётся только вспомнить значения аися из (2.5), (2.6) и (2.7);
* ИМ’ [реV] = \p\n, (2.12)
[р0] = О, (2.13)
[pe-ZlK + i^-8l = [pV.nJ. (2,14)
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛОВ
17
Так как по (2.13) произведение р0 не терпит разрыва, то мы можем это
произведение вынести всюду за знаки разрыва и написать:
P0[V] = [/>]». (2-15)
[р01 = О, (2.16)
p9[i^+^] = (M. (2.17)
До сих пор мы не говорили о виде внутренней энергии нашего газа. Мы
обратимся теперь к классической газовой динамике, газовой динамике так
называемого идеального (в термодинамическом смысле), или совершенного
газа. В этом случае внутренняя энергия U единицы массы имеет вид
U =cvT, (2.18)
где cv — теплоёмкость газа при постоянном объёме (величина постоянная), а
Т — температура.
Мы вернемся в § 24 к случаю реального газа, а пока будем рассматривать
только идеальный газ. Для него условие (2.17) должно быть заменено
соотношением
pe[-KlK. + -^]=lPVII]. (2.19)
Соотношения (2.15), (2.16) и (2.19), коими связаны величины 0, р, V, р, Т
по обе стороны поверхности разрыва, носят название условий динамической
совместности. Здесь имеется в виду совместность двух движений: с
элементами V+, р+, ... и с элементами
V_, р_, ... Весьма существенным является наше предположение
о том, что существует всегда одна и только одна поверхность разрыва. В
этом смысле условия динамической совместности необходимы, и если бы
оказалось, что в некоторый момент в жидкости образовалась поверхность
разрыва, такая, что гидродинамические элементы с обеих сторон от неё
различны, но не связаны соотношениями (2.15), (2.16) и (2.19), то такая
поверхность разрыва существовать в дальнейшем одна не смогла бы; здесь
возникает взрыв (см. далее § 37 этой главы).
В тех точках пространства, через которые поверхность разрыва в данный
момент не проходит, мы должны удовлетворить обычным уравнениям
гидродинамики.
то поверхность разрыва не распространяется по частицам, отделяя всегда
одну массу газа от другой. Такая поверхность разрыва называется
стационарной. Здесь по (2.15) [/?] = 0, а по (2.19) [У„] = 0; напротив,
[р] и скачок касательных к Е составляющих скорости совершенно
произвольны. Примерами такой поверхности могут
18 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
служить: волнующаяся поверхность реки (отделяющая воздух от воды),
поверхность тёплого или холодного фронта (в метеорологии), поверхность
газовой струи.
Значительно больший интерес для газовой динамики представляют случаи,
когда ^ ^ ^
Здесь обязательно будет
[р\Ф О, [К„]^0 (если при 6^0 [/>] = (), то по (2.15) [V] = 0, затем по
(2.19) [Т) = 0 и, значит, [р] = 0 '), т. е. разрыва вообще нет). Пример —
«баллистическая волна», бегущая перед носом снаряда. Полезно отметить,
что при 6 Ф 0 скачок касательной к Е составляющей скорости равен нулю (в
этом убеждаемся, умножая скалярно обе части (2.15) на любой единичный
вектор, расположенный перпендикулярно к п).
Поверхности Е, на которых сами гидродинамические элементы претерпевают
разрыв, носят название поверхностей сильного разрыва. В том случае, если
сами гидродинамические элементы непрерывны, но среди их первых
производных по координатам или по времени найдётся хотя бы одна,
меняющаяся скачком при переходе через поверхность; последняя называется
поверхностью разрыва первого порядка. Вообще говоря, если при переходе
через поверхность Е функция b непрерывна, но производная по координате
или по времени, начиная с некоторого порядка, терпит разрыв, то Е
называется поверхностью слабого разрыва для функции Ь. Употребительны
также термины просто «разрыв» или «волна». Поверхности сильного разрыва,
представляющие разрыв давления, называются ещё скачками уплотнения или
