Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
к соотношениям:
[-g?-] + V.[Vp] + p[dlv V]=0.
р Вт] -%р [ж]+?v • [?^J -ypV •[VpI = °-
24 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
Используя (4.6), получим тогда:
).рп — fhvN — Vnt.vp,
— >vyV + V„\(-f pXу n = 0,
p>yV - - /pXpW — рипх/7 4- v.pvnkp = о
(X.y есть вектор с компонентами A^, A& , Собирая члены с ).,
\n = P(N-V„)\y, |
Xp (ДА — Vn) = pXv • n, (4.8)
pX, (N — V„) — xp (N — Vn)lf = 0. )
Пять величин X удовлетворяют пяти однородным уравнениям. Для того чтобы
существовали X, отличные от нуля, необходимо, чтобы был равен нулю
определитель системы; проще всего получить это условие, умножая скалярно
первое уравнение из (4.8) на и и вставляя вместо р (Ху • п) выражение из
левой части второго из уравнений (4.8). Получим тогда:
\P = \{N — Vuf, что в соответствии с последним из (4.8) даст либо N — Vn
= 0,
(N — Vn? = = а?. (4.9)
Первое из этих равенств отвечает случаю стационарного разрыва (0 — 0).
Второе равенство показывает, что скорость распространения нестационарной
(0 ф 0) поверхности разрыва первых производных всегда равна
±a=±Yrf.
Величина эта носит название скорости звука.
Мы говорили о скорости распространения поверхности слабого разрыва для
производных первого порядка. Можно показать, что скорость 0
распространения любого слабого разрыва (т. е. разрыва производных любого
порядка) будет либо 0=0, либо | 8j = а. Напротив, как мы вскоре увидим,
скорость 0 для сильного разрыва со скоростью звука никак не связана.
Покажем теперь, как слабый разрыв связан с характеристиками системы
уравнений газовой динамики. Последняя есть система пяти уравнений в
частных производных первого порядка по четырём независимым переменным,
содержащих пять неизвестных функций. Известно, что к рассмотрению
характеристик приводит задача Коши, каковая
/(*, у, г, 0 = 0 (4.10)
иямЫ(4.7) ^обращающиеся" на*!^
x = x; у = у; z = f(x, у, z, t)\ t = t. z — 0,
vx(x. у, z, f) = vx(x. у, z, 7); ....
{vx{x. У. Z, 0}/=o = M*' y. 0. 0; ? • • (4-11)
(йм=(#ко+(#1»йк;"- <4ЛЗ)
Ho если
(а)/=0 = а(х, у, 0, О
<h& у. О, t)/dx, производная {да/дх)-^ м'ожет считаться также известной;
то же можно^ сказать и про (da/dj)^ и (da/dt)I=0. Таким
23
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
сумели бы по (4.13) рассчитать (дя-/дх)^0, ... У i функций: vx, v , vz,
р, р, так что нам надо найти п
эбы найти их, обращаемся к пяти уравнениям (4.7) и записываем в новых
переменных, пользуясь (4.12). Имеем (мы выписываем ль те члены, которые
содержат дифференцирование по г): dvx /~ df_ , - df I I 1
df dp __
д^\хдх ydy г dz dt J'1' J dx dz dvy /_ df - df - df df\ 1 df dp
dvz i ~ df | df\ | 1 df i
ylT + v dy
dy
dvt df | dv y <9/ (9/
7 +
ш-
Пять наших производных можно найти из этой системы алгебраических
уравнений лишь в том случае, если её определитель отличен от нуля.
Определитель этот, если обозначить
§ 4] СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ. ХАРАКТЕРИСТИКИ 27
Если гиперповерхность (4.10) и заданные на ней функции vx, vy, ...
таковы, что (4.15) обращается в нуль, система (4.14) может допускать лишь
неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались конечными,
необходимо при этом потребовать обращения в нуль всех определителей,
составленных путём последовательного введения правых частей (4.14) в
столбцы определителя системы. В таком случае многообразие (4.10)
называется характеристическим многообразием (характеристической
гиперповерхностью) или просто характеристикой. Заметим, что при
вычислении старших производных нам придётся иметь дело вновь только с
определителем (4.15). Таким образом, если 3 в задаче Коши есть
характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи
Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два
различных решения, принимающих на 3 одни и те же значения, у которых,
однако, уже первые производные на 3 различны; таким образом может
оказаться, что с разных сторон от 3 движение представляется разными
законами, а на самой 3 гидродинамические элементы обоих движений (но не
их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы 3
перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не
представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю (4.15)
будет совпадать с одним из условий (4.9). Для этого стоит лишь ввести
«скорость распространения» 6 характеристики:
Ш!+(?)Ч?Г ]
У(1
(4.16)
А oj/"(.|02 + (|08 + (J0a .
Тогда равенство определителя (4.15) нулю будет означать,
0a^0S_^.J—o.
и мы вернёмся к (4.9).
Мы видим, таким образом, что перемещающиеся поверхности слабого разрыва и
характеристические многообразия системы (4.7) —
Всегда ли можно говорить о характеристических многообразиях? Всегда ли
они будут действительными? Отбрасывая случай, когда 0 = 0, мы должны
иметь на характеристике е2 = (лг_у„)2 = а2
w+v*w+vy$+v*&=±Vr(w)2+(|f)2+(w)2 а
(4.17)
28 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
(мы отбрасываем черту над гидродинамическими элементами), где а, как
прежде, — скорость звука. В нестационарных случаях уравнение (4.17)
