Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
внешней средой, а также за счет притока энергии от посторонних источников
или оттока энергии, связанного, например, с потерями на излучение. По
аналогии с законом сохранения массы находим, что изменение величины
энергии единицы объема в данной точке пространства равно потоку энергии
через поверхность, ограничивающую этот объем,
где F - поток энергии, обусловленный теплопроводностью, величина которого
находится из соотношения (3.28).
Общее решение системы (6.1) -(6.3) не удается получить и в "классическом"
случае, когда эффекты излучения не учитываются. Трудности становятся еще
большими при включении в эти уравнения давления и плотности энергии
радиации, потока энергии излучения, изменения ионизации газа и др.
Поэтому, в зависимости от характера поставленной задачи, система (6.1)-
(6.3) обычно упрощается. Сейчас ее решение находят численными методами, о
которых речь пойдет в гл. IV.
Простейшим случаем движения газа является одномерное адиабатическое
движение, для которого уравнения газодинамики сводятся к виду
d 3 Э Э Э Э
- = - + их - + и v + и z - = - + uV
Ъ t р
(6.2')
(6.3)
Эр Эр Ъи аир
- + и - + р - + = о,
Ъг Ъг Ъг г
(6.1')
Ъи Ъи 1 ЪР
(6.2")
(6.3')
35
причем а = 0,1 и 2 соответственно для плоского, цилиндрического и
сферического движения. Направление ускорения силы тяжести здесь
противоположно направлению градиента сил давления. Из (6.2') при и = 0
следует условие гидростатического равновесия
Индексом "1" здесь и в дальнейшем обозначаются значения соответствующих
параметров в равновесном состоянии.
б) Уравнения движения в форме Лагранжа. Во многих случаях при решении
уравнений газодинамики удобнее следить за изменением физических
параметров каждой фиксированной частицы (элемента массы) в отдельности.
Для этого уравнения газодинамики записываются в форме Лагранжа. Мы
ограничимся здесь случаем простейшего одномерного движения. В начальный
момент времени (при f = 0) каждый элемент массы занимает определенное
положение в пространстве, поэтому ему можно приписать определенную
эйлерову координату г1# которой этот элемент массы и будет
характеризоваться при его дальнейшем движении. Под "частицей" удобно
подразумевать элементарный слой газа, находящийся в пределах от гх до rx
+ dr j. В трехмерном случае это сферический слой с массой
dm = 4 irrxpxdrx. (6.5)
В процессе движения толщина этого слоя изменяется, соответственно
меняется и плотность вещества, однако масса dm остается постоянной, так
что
Лр\&г\ = г2 Р&г.
или, в общем случае, при произвольном ос
Обозначим через Дг смещение фиксированного слоя за время dt, так
что г = гх + Дг. Скорость движения слоя и =-------. Воспользовавшись
Эг
( dAr\
очевидным соотношением dr = [ 1 +---------Idrx и дифференцируя соотноше-
\ drx)
ние (6.6) по t при фиксированном г1# находим уравнение неразрывности в
форме Лагранжа:
1 dPx Pi dr
(6.4)
(6.6)
ЭДг
(6.7)
Уравнение движения в этом случае принимает вид
(6.8)
или, в случае простейшего одномерного движения, /г, V* Ъи 1 ЪР (гЛ*
э
Здесь, как и в соотношении (6.7), производная по времени - экви-
Э г
d
валентна полной производной -. Такая запись означает, что произволен
ная берется для заданной частицы с определенной лагранжевой координатой г
1 при = const. Уравнения (6.7) и (6.8) являются исходными в методе
Бринкли - Кирквуда.
Подавляющее большинство задач динамики звездных оболочек сводится к
изучению сферически-симметричных движений газа в поле тяжести,
создаваемом центральными областями звезды (в собственном поле тяготения).
Уравнения, описывающие это движение в переменных Лагранжа, имеют вид
Э г
- = и, (6.9) Ъг
1 , Ъг
У =------4 яг2 ----, (6.10)
Р 3/7?
Ъи " ЪР Gm
- + 4яг - + - = 0, (6.11)
Ъг Ът г2
ЪЕ Р Ър 167Г 2caR Ъ
Ъг р2 Ъг 3 Ът
ЪТ4]
+ е. (6.12)
к Ът I
В последнем уравнении - уравнении сохранения энергии - учитывается
энергоотвод из слоя за счет лучистой теплопроводности, а также возможный
приток энергии за счет термоядерных реакций е. В уравнении
г 7
(6.11) т = 47Г J г pdr - масса, заключенная внутри сферы радиуса г. о
За фронтом сильной ударной волны, движущейся в оболочке звезды, давление
и плотность энергии излучения соизмеримы или даже больше давления и
плотности энергии газа. Поэтому в уравнениях (6.11) и (6.12) под Р и Е
следует подразумевать полное давление Р = + Pr и полную
удельную плотность энергии Е ~ EG + ER, которые определяются
соотношениями (1.6) и (1.7).
Для проведения расчетов на ЭВМ систему (6.9) -(6.12) удобно записать в
следующем виде:
(6.9') (6.10')
47tGs ,
г-. (6.11')
г2
1 \ ъ(ггт
- - ------------ + е, (6.12')
р / Эs
Ъ Т
w = -Ктрг2 , (6.13)
9s 37
Ъг
- = и,
Ъг
Ъг3 3
3s " р'
- " -г2 ЪР
Ъг ds
ЪЕ 9 I
= р -
Э t dt
где в качестве лагранжевой массовой переменной использована величина s =
/77/47Г - масса в единице телесного угла и введен тепловой поток W, кт -
коэффициент лучистой теплопроводности (3.29). Замыкают систему уравнения
состояния (1.6) и (1.7).
