Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
лабораторной системах отсчета связаны между собой соотношениями
(3.4)
где В v (Т) - функция источника, определяемая формулой Планка
_ 2/?v3 1 2 г \
Ви(Т) = -: эрг/(см -с ср-Гц).
/" * hiI
С1 hv
(3.5)
Интегральная функция источника В (Т) = / В v (Т) dv равна
о
В(Т)=^Т\
(3.6)
В гидростатистически равновесном состоянии в звездных атмосферах давление
и плотность энергии излучения малы по сравнению с газовыми. Одна-
1уг\ п l и огч ooDiir>iii д/-ют1_ лт та ".nnnoTiinL ¦ I -ч/ ~Г^ \
nniionniiT I/ nooi/maif nnoLi.
~ as ~
cos# [ 1 + /3 cos в ] - = В0[ 1 + 40cos0] - /.
(3.8)
(3.9)
20
Входящий в уравнение (3.8) элемент оптической глубины равен dr - = Nkdx =
Kpdx, где к и а соответственно коэффициент поглощения в расчете на
единицу массы и на единицу длины. Обозначим, как обычно, ц = = cos в и
введем согласно (3.1) - (3.2) среднюю интенсивность 7, поток
47Г
энергии F и плотность потока импульса излучения - К:
i+i +i 1 +1 .
J = / Ida, F = 2tt / lixdix, K = - f lii2dix. (3.10)
-1 -1 -1
Применяя к уравнению (3.8) операторы S (...)d(t, J / (,..)ju(1-ftu)dM,
-I -i
и учитывая (3.10), приходим, пренебрегая малыми членами порядка (32 , к
следующим соотношениям:
T-^r^^=Bo-J, (3.11)
47Г dr dr
ТГ=-7- F + P (К+В0). (3.12)
ОТ 47Г
Для замыкания системы часто используется еще приближение Эддингтона
7= 3/С. (3.13)
В результате система (3.11) - (3.13) сводится к виду (по-прежнему
пренебрегаем членами ^ (32)
) + -jr-F, (3.14)
47Г dT \ 3 / 47Г
|r = -7;rF + ?(/f + e<>>- <3-15>
ч/ * dF n dK п
Условия равновесия осуществляются при Г = const, - = 0 и - = 0.
dr dr
В результате из последних уравнений находим
/с(tm) Г4, Г = 4~-оГ4^. 13.16)
Здесь и - скорость движения газа относительно фиксированной системы
отсчета. Если среда неподвижна, приходим к обычным соотношениям теории
переноса
7^=~~rF' Т-7Г=в~и' (3-17)
dr 47Г 4я dr
которые могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению:
~^ = 3{J-B). (3.18)
Граничные условия (3.16) с учетом (3.13) при и" с принимают вид
•/=-|r\ F = 0. (3.19)
21
Все эти соотношения и будут использованы в § 11 при рассмотрении задачи о
структуре сильной ударной волны.
Изменение параметров движущегося газа во времени существенно зависит от
скорости выравнивания температурных неоднородностей. Исходным при
изучении релаксации температурных неоднородностей излучением является
условие сохранения энергии, которое в случае, когда можно пренебречь
движением вещества, записывается в виде
|?=-divF, (3.20)
bt
где F - вектор потока тепла. Если плотностью энергии излучения можно
пренебречь и Е = Ес=сррТ, гдеср - удельная теплоемкость при постоянном
давлении, то (3.20) перепишется так:
cPp-^=-divF. (3.20')
Of
Воспользовавшись далее уравнениями (3.17), находим cpp^f=4mp(J-B),
(3.21)
ът а-
с"р -= d.v
^pgrad'/] •
(3.22)
Рсзрешая (3.21) относительно J и подставляя его в (3.22), сводим
последнее уравнение к виду
^F-di'[ifl,ad(**cr4 *?!?)]• |3-231
которым и описываются тепловые свойства излучающего газа в приближении
Эддингтона. Решение этого уравнения получают обычно численными методами.
Но в случае, когда возмущение неоднородной среды невелико, так что 7"=
7"! + 7"' и 7*' " Ту = const, из (3.23) следует
_ ЪТ' 4арскТ3.
[А - Зк р ] - ------------АТ\ (3.24)
dt ср
Величина
4aR ск Ту
(3.25)
может быть принята за характерное время релаксации температурных
неоднородностей путем лучеиспускания. В частности, при у = 5/3, к = 100
см2/г и Т= 6000 К находим tr ^0,006 с.
Следствиями (3.24) являются два асимптотических уравнения. При кр -> 00
(случай оптически толстой среды) имеем обычное уравнение диффузии
ЪТ* 1
- = АТ . (3.26)
Э f 3к р tr
При кр~* 0 (оптически тонкая среда) (3.24) сводится к виду
ЪТ' Г
+ (3.27)
bt
Tr
22
Рис. 7. Зависимость потерь энергии газа на излучение от температуры.
где у - произвольная гармоническая функция, которую без потери общности
можно положить равной нулю. Таким образом, из
(3.27) следует ньютоновский закон охлаждения оптически тонкой среды.
В целом же время релаксации температурных неоднородностей существенно
зависит от частоты волнового движения, являющегося их источником. Этот
вывод следует из анализа линеаризованных уравнений газодинамики, в
которых в уравнении энергии учитывается лучистый теплообмен. Зависимость
параметра tr от частоты и волнового числа приведена далее в § 25.
В приближении лучистой теплопроводности поток лучистой энергии выражается
через градиент температуры
F = -ktVT,
(3.28)
где кт
кт =
- коэффициент лучистой теплопроводности:
т3
3 кр
(3.29)
При расчете параметров газа за фронтом ударной волны, движущейся во
внешних слоях оболочки звезды, необходимо учитывать потери энергии газа
на излучение в результате фоторекомбинации и тормозных процессов. Если
скорости электронов распределены по закону Максвелла с температурой Т, то
объемный коэффициент излучения, обусловленный рекомбинациями на все
уровни, равен (В.В. Соболев, 1975)
,ГЪ
