Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
3 Rc>z 20 Rq, а для п > 4 допустимы сколь угодно большие значения радиуса
Re.
Приведем другой способ аппроксимации строения оболочек звезд (Д.К.
Надёжин, 1979). Можно предположить, что звезда состоит из точечной массы
М0, расположенной в ее центре, и оболочки с массой М*, находящейся в
гидростатическом равновесии в собственном гравитационном поле и в
гравитационном поле точечного ядра, а плотность в оболочке задать
следующим образом:
¦(-тУ
р = рп 1 - - . (5.23)
где R, - радиус звезды. Тогда масса и гравитационная энергия оболочки:
8nRlPn
М = --------------(---------------------------------------------------
(5.24)
(л+.1) (/7 + 2) (л + 3)
л + 3 GMe Г in +3) (5/J +8) 1 (5.25)
Eq =------------------ Мо + Ме I
2 Я. L 4(2л + 3) (2л + 5) J
Согласно теореме о вириале гравитационная энергия оболочки Е(; и ее
внутренняя энергия Ej связаны соотношением Eq = -3 (7 - 1) ? р. Поэтому
при постоянном показателе адиабаты у полная энергия оболочки Е = = ?<7+
?т равна
(З7 - 4) (/7 + 3) GM* Г (/7 + 3) (5/7 + 8)
Е =-----------------------------М0 + ------------------------ М.
6(7-1) R* L 4(2/7 + 3) (2/7 + 5)
(5.26)
Согласно современным представлениям на поздних стадиях эволюции ядро
звезды (при М* > 1,3 М0) коллапсирует в нейтронную звезду или черную
дыру, что сопровождается мощным импульсом нейтринного излучения.
Соответственно на величину дМ0 уменьшается масса звезды. Это приводит к
увеличению гравитационной энергии оболочки на величину
(n + 3)GM"
Из соотношений (5.24) - (5.26) следует, что если у достаточно близко к
критическому значению 7* = 4/3, то после коллапса полная энергия оболочки
может стать положительной. Это происходит при условии
4 1 <7М"
7 --<---------------------------------------------. (5.28)
3 3 (п + 3) (5л + 8)
(1 -<7)М0 + -------------------- Ме
4(2п + 3) (2п + 5)
Таким образом, часть вещества звезды при коллапсе может быть сброшена в
межзвездное пространство (см. § 28).
§ 6. Уравнения газовой динамики
Изучая законы движения газа, газовая динамика рассматривает его как
непрерывную среду. Это условие выполняется, если размеры системы
(например, атмосферы звезды) существенно превышают длину свободного
пробега частиц. Движение такой непрерывной (сплошной) среды в
газодинамике описывается скоростью и, плотностью р, давлением Р,
температурой Г, внутренней энергией Е или тепловой функцией со и
энтропией S. Каждый из этих параметров является функцией координат (х, у,
г в прямоугольной декартовой системе) и времени t. Если движущуюся среду
можно рассматривать как идеальный газ, т,о давление связано с плотностью
и температурой уравнением состояния (1.1).
Математическим аппаратом газовой динамики является система
дифференциальных уравнений, описывающая законы сохранения массы, импульса
и энергии. К ним прибавляется еще для замыкания системы уравнение
состояния. Путем решения этой системы уравнений и находят все параметры
движущегося газа. При этом в зависимости от характера поставленной задачи
используют два метода: находят зависимость параметров газа и, р, Р \лТ
как функций пространственных координат х, у, г и времени t (метод Эйлера)
или же скорость движения, плотность, давление и температура определяют
для каждого фиксированного элемента газа как функции времени и его
начальной пространственной координаты (метод Лагранжа). В случае
одномерных движений второй метод является более удобным.
а) Уравнения движения в форме Эйлера. Первое уравнение газодинамики -
уравнение неразрывности - описывает изменение массы в фиксированном
элементе объема за счет втекания или вытекания вещества через
поверхность, ограничивающую этот объем:
Эр
- + div (ри) = 0. (6.1)
Эг
Здесь и - вектор скорости; его компоненты в прямоугольной системе
координат равны их,иу\ли2.
Второе - уравнение движения - связывает ускорение массы, заключенной в
фиксированном элементе объема, с действующими на нее силами,
du
р - + VP - / = 0, (6.2)
dt
где VР - градиент полного давления, / - внешняя сила,
действующая
на единицу объема. Если речь идет о силе гравитации, действующей
на
34
GM (r)r
расстоянии г от центра звезды массы М, то f=-gp ------------3----р, где
М (г) - масса, находящаяся внутри сферы радиуса г. Оператор
характеризует изменение во времени того или другого параметра газа
Э
для фиксированного элемента массы, оператор - - изменение во време-
Ъг
ни того же параметра газа в данной точке пространства. Поэтому уравнение
(6.2) можно переписать в виде
Обычно оно расписывается в виде трех уравнений, описывающих изменение
газодинамических величин вдоль каждой из координатных осей. Простейший
вид это уравнение принимает в случае одномерного движения.
Третье уравнение газодинамики описывает закон сохранения энергии в
процессе движения. Если Е - внутренняя энергия фиксированного элемента
массы, занимающего удельный объем V, то изменение этой энергии в процессе
движения происходит за счет работы сжатия, выполняемой над этим элементом
