Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
следующим образом: замкнутая система может находиться с равной
вероятностью в любом допустимом стационарном квантовом состоянии. Это
предположение используется, например, в дальнейшем при определении
вероятности состояния (см. (1)), среднего значения физической величины
(см. (3)). Оно применяется также при рассмотрении того, что происходит
при установлении контакта между двумя системами (см. соотношение *)
(4.5)).
Посмотрим теперь, что означает это предположение.
Замкнутая система
Замкнутая система определяется как система с постоянной энергией,
постоянным числом частиц и постоянным объемом.
Допустимое состояние
Состояние считается допустимым, если оно совместимо с характеристиками
системы. Это означает, что энергия такого состояния должна лежать в
пределах возможного изменения энергии системы, а число частиц в данном
состоянии должно равняться числу частиц, характеризующему систему. Иногда
система может обладать такими необычными свойствами, что некоторые
квантовые состояния становятся недопустимыми в течение времени
рассмотрения данной системы. "Состояния, при которых Si02 имеет
кристаллическую форму, недопустимы при низких температурах, если вначале
мы имели стеклообразную форму: в опытах при низких температурах такое
вещество не превратится в кварц в течение всей нашей жизни. Здравый смысл
позволяет определить большинство ситуаций такого типа. Одним словом, мы
будем считать все квантовые состояния допустимыми, если они не
исключаются ни самим определением системы, (рис. 3.1), ни выбранным
временным масштабом.
*) При ссылках в данной главе на формулы, приводимые в другой ллаве, к
номеру формулы добавляется номер главы.
32
ГЛ. 3. ОСНОВНОЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ
Конечно, мы можем настолько детально охарактеризовать систему, что ее
статистические свойства перестанут представлять интерес. Если, например,
мы уверены, что система находится именно в стационарном квантовом
состоянии I, то она всегда будет оставаться в этом состоянии, и никакие
другие состояния
Рис. 3.1. Чисто символическая схема, в которой каждый зачерненный кружок
представляет допустимое квантовое состояние замкнутой системы.
Основное предположение статистической физики состоит в том, что замкнутая
система с равной вероятностью может находиться в любом допустимом для нее
квантовом состоянии. Незачерненные кружки представляют некоторые
состояния, недопустимые в силу того, что их свойства не удовлетворяют
наложенным на систему ограничениям.
не будут допустимыми. В такой ситуации никаких статистических проблем не
возникает. Как правило, специальные условия указанного типа можно без
труда выделить и исключить из рассмотрения.
Вероятность
Представим себе, что мы производим наблюдения в следующие друг за другом
моменты времени tit t2, t$, . . ., tq, причем число таких наблюдений
велико и равно q\ пусть при каждом наблюдении система оказывается в одном
из своих состояний. Обозначим через п(1) число случаев, когда при
наблюдении система находилась в состоянии, характеризуемом индексом I.
Тогда вероятность обнаружения системы в состоянии I определяется
следующим образом:
P(l) - n (l)lq. (1)
Предположим, что при возрастании числа наблюдений q величина Р(1)
стремится к некоторому пределу. Мы будем считать q настолько большим, что
Р(1) уже вряд ли существенно изменится, если число наблюдений, скажем,
удвоится или утроится. И в данном случае выбор величины q, при которой
уже можно прекратить наблюдения, определяется по здравому смыслу.
ВЕРОЯТНОСТЬ
33
Заметим, что из определения вероятности Р(1) следует
?/>(/) = 1. (2) i
Иными словами, суммарная вероятность того, что система находится в каком-
либо из состояний, равна единице. Мы говорим, что вероятность нормирована
к единице.
Определение вероятности соотношением (1) естественным образом приводит к
определению среднего значения любой физической величины. Предположим, что
в системе, находящейся в состоянии I, интересующая нас физическая
величина А принимает значение А{1). Здесь А может обозначать магнитный
момент, энергию, квадрат энергии, плотность заряда в точке с радиусом-
вектором г и любую другую величину, которую можно наблюдать, когда
система находится в каком-то квантовом состоянии. В этом случае среднее
значение результатов наших измерений величины А для системы,
характеризуемой вероятностями (1), определяется как
<A) = ?A(QP(l) = j?A(l)n(l). (3)
I I
Таково естественное определение среднего значения А. Здесь Р (/)-
вероятность того, что система находится в состоянии /, а п(1)-число,
показывающее, сколько раз в серии из q наблюдений система будет
обнаружена в состоянии /.
Такое среднее является временным средним для одной единственной системы,
так как величины п{1) находились путем наблюдений в последовательные
моменты времени. Для нашего определения вероятности важно, чтобы время,
прошедшее между начальным и конечным наблюдениями, было "достаточно
велико". Из экспериментов известно, что сложные системы, с которыми мы
