Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
g (N, т) да g (N, 0) exp (- 2т /N),
где
g(N, 0) =
/V!
(!/*лф МЛФ
(36)
(37)
(38)
26 ГЛ. 2. МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Точные значения биномиальных коэффициентов (12) и приближенное выражение
(37) представлены на рис. 2.6 для N = = 100. Чтобы продемонстрировать
отклонение (37) ог (12) при •больших т, удобнее строить графики
зависимости lgg от т, а не g от т.
Распределение, определяемое правой стороной равенства (37), называется
распределением Гаусса (рис. 2.7). Оно имеет
максимум с центром при т=0. Для т2 = l/nN величина g в е раз меньше
своего максимального значения. Иными словами, когда
ff(/0t \m)-10~2i
1 V
/. \
:
У и... ^
mlN = ('/2N)4',
(39)
величина g в е раз меньше, чем g(N,0). Таким образом, величина (W'*
служит разумной мерой относительной ширины распределения. Для N ~ 1022
относительная ширина равна по порядку величины 10-11. При очень больших N
распределение оказывается чрезвычайно узким, что подтверждает вывод,
получен-
ный нами при вычислении
-го -/о о ю го
Рис. 2.7. Гауссово приближение для биномиальных коэффициентов §(100, т).
Линейный масштаб. В таком масштабе на рисунке невозможно отличить
приближенные значения от точных в пределах приведенного интервала т.
Полный интервал изменения т простирается от -50 до +50. Пунктирные линии
проведены из точек, лежащих на высоте, которая в е раз меньше максимума
g.
Отсюда следует, что распределение полного магнитного момента Ж в случае
макроскопического числа моментов, ориентированных случайным образом,
имеет резкий максимум при среднем значении Ж, равном нулю.
Пример. Формула Стирлинга. Формула Стирлинга для п\ при п 1 имеет вид
я! " (2яti) '2 пп exp I
'п + ~Ш +
(40)
Это полезное соотношение приводится почти в каждом математическом
справочнике, и его вывод содержится во многих пособиях по высшей
математике (см., например, [6*]. - Прим. ред.). Для достаточно больших я
членами в показателе экспоненты можно пренебречь. Из (38) и
(40) получаем
РЕЗКИЙ МАКСИМУМ g(N, т)
2Т
Для N = 50 точное значение g(50,0) согласно (38) равно 1,264-1014, а
приближенное значение (41), полученное с помощью формулы Стирлинга, равно
1,255-1014.
Объединяя (41) и (37), находим
g (N, m) " 2^ /2 exp (-2m2/N).
(42)
Этот результат не является столь же хорошим приближением, как (37), где
g(N,0) определяется соотношением (38). Однако он обладает тем
преимуществом, что интеграл по m от -оо до +оо дает для полного числа
состояний правильное значение, равное 2N. Этот интеграл вычисляется в
приведенном ниже примере. Вспомним, что в соответствии с (13) при
суммировании точного выражения (12) по m от -lfaN до 7гМ строго получаем
полное число состояний, равное 2N.
Пример. Интеграл Гаусса. Интегрируя (42), доказать, что
ОО
^ dm g (N, m) - 2N. (43)
Искомый определенный интеграл является интегралом Гаусса:
ОО
J = ^ dx е~х2 = (44)
- ОО
где мы сделали подстановку х2 = 2m2/N или /и2 = Nx2/2. Таким образом,
Значение J можно получить из Р, используя соотношение
оо оо 2я СО
J2 = ^ ^ dx dy exp [- (х2 + у2)] = ^ dtp ^ exp (- р2)
р dp = л. (46)
- оо -оо 0 0
Мы перешли здесь от интеграла по поверхности в декартовых
координатах
к двойному интегралу в полярных координатах, где р2 = х2 + у2, а элемент
площади dx-dy равен р dtp dp. Интеграл по р вычисляется очень просто.
С учетом (46) получаем для (45):
ОО
J dm g (N, m) = 2n (~)'2 (у)''* = 2*. (47)
- OO
В качестве пределов интегрирования нам в действительности следовало бы
поставить ±7гМ, но для N > 1 удаленные крылья подынтегральной, функции не
вносят существенного вклада в интеграл (см. рис. 2.6). Приближение (42)
дает слегка заниженное значение при малых m и немного завышенное при
больших т, так что в результате эти две ошибки в интеграле в точности
компенсируют друг друга.
28
ГЛ 2. МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ОО
S
Задача 2.1. Вычисление определенных интегралов. Показать, что
dx х2 exp (-х2)=-^у'я, (48)
^ dx х4 ex р(-*2)=-|-Vn. (49)
- ОО
Указание. С помощью (44) вычислить
dx ехр(-ах2) (ГО)
S
и, взяв от полученного результата производную по параметру -(djda), найти
первый интеграл. Для получения второго интеграла повторить ту же
операцию.
Задача 2.2. Решеточный газ. Рассмотреть в качестве математической модели
N о узлов решетки, в каждом из которых может находиться либо О, либо 1
атом. Предположить, что по этим Na узлам случайным образом распределены N
атомов. Пусть свободные узлы обозначаются светлыми кружками (О), а
занятые - темными кружками (•). Рассмотрев величину
(• + ОЛ (51)
аналогичную величине (f + 4-)'V° в (11), показать, что число различных
расположений N атомов по N о узлам равно
^_____________________________________ (52)
(N0-N)lNr ( >
Обозначим эту величину через g(N0,N). Она определяет число различных
состояний, возникающих при размещении N атомов по Na узлам, когда в
каждом узле может находиться не более одного атома. (Будьте внимательны:
