Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(t + j)". (9)
Мы позволили себе опустить в (2а) индекс, отмечающий номер узла,
поскольку нас интересует лишь, сколько спинов направлено вверх или
сколько вниз, а не то, какой именно из них повернут в ту или другую
сторону. Если опустить индексы и не обращать внимания на порядок, в
Число спинов Вверх Вниз
¦N + m ¦
Спиновый избыток п(\)-п(\)=2п1 2т ¦
Рис. 2.3. Определение спинового избытка 2т.
Число п (4) спинов, направленных вверх, равно l/2N + т\ число п (^),
спинов, направленных вниз, равно xj2N- т. Полное число спинов равно п (^)
+ n W = \'j2N + т) + -f m) = N. Спиновый избыток ('/2iV+m) -
- (lI2N-m) = 2m. Если каждый спин имеет магнитный момент р., то магнитный
момент всех спннов, направленных вверх, равен рл а магнитный момент всех
спинов, направленных вниз, равен - \хп (^). Полный магнитный момент равен
-
- п{Щ='2\хп. Если N - четное, тот -целое число; если N-нечетное, то т -
полуцелое число. Мы всегда будем предполагать, что N - четное число.
Целое число т принимает
все значения между xj2N и ~xj2N.
каком стрелки появляются в данном произведении, то (26) примет вид
(T + D2 = Tt + 2U + U
и
(т+|)з=т+зт+
+ з||4 + |41,
причем правую часть можно записать короче, а именно:
f + 3f| + 3U2 + !3. Согласно биному Ньютона (x + y)N = xN + NxN-'y +
+ '/2N (N-1) xN~2y2+... +y'v=
-I
TV!
s-0
(TV - s)I si
xN~sys, (10a)
N1
шение (10a) можно лентной форме:
42n
(x+y)"= ?
m = ~%N
Таким образом, символическое ставляется в виде
N1
где s! = 1 • 2 • 3 ... s (так называемый s-факториал). Соотно-представить
в несколько иной, но эквива-
(ViN + т) 1 ('/2N - т)\
.х'!*ы+т y'^N~
(106)
выражение (| + |)-v пред-
''j2N+tn 11/2 N-m
Запись
(l/zN + т)\ (*/2.V - т)
y2/v+m, чгы-т
(П)
(11а)
ПОДСЧЕТ СОСТОЯНИЙ. СТЕПЕНЬ ВЫРОЖДЕНИЯ g(N. т)
в действительности не обозначает какое-либо одно определенное состояние,
так как мы опустили индексы, указывающие номер-узла. Но коэффициент при
слагаемом (11а) дает число различных состояний с */2jV -f- т спинами,
направленными вверх, и l/zN - т спинами, направленными вниз. Такие
состояния обладают полным моментом Ж=2тц, и имеют спиновый избыток 2т.
Обозначим коэффициент при слагаемом (11а) в (И) через g(N, т), где
/ \т \ NI /Число состояний системы из N спи-\ /io\
g \l\ , 171)-(1/2ДГ + m)! (l/2N " m)l - ^HOB C0 спиновым избытком
2m. )
Таким образом,
(t + j)"= ? g{N,,n)\'kN+m\'kN-m. (13)
m=-'/2N
Величины g(N,m) являются биномиальными коэффициентами, где m - любое
целое число (для нечетного N - любое полуце-лое число), лежащее между -
7гN и */гN. Таблицу биномиальных коэффициентов можно найти почти в любом
собрании математических таблиц.
Величину g(N, m) мы будем называть степенью вырождения - она определяет
число состояний с одним и тем же значением m (или Ж), но слегка
отличается от той, которой мы пользовались в гл. 1. Причины, по которым
мы ввели настоящее определение, станут понятны позже в этой главе, когда
мы будем рассматривать систему, на которую наложено магнитное поле. В
магнитном поле состояния с разными m обладают различными энергиями, и
величина g совпадает с обычным вырождением в магнитном поле. До сих пор
мы не вводили магнитного поля, и пока мы так поступаем, можно полагать,
что все состояния модельной системы имеют одинаковую энергию. Заметим,,
что согласно (10) полное число состояний равно
(l + l)" = 2'v= ? g(N, m).
m= - 42N
Величину g(N,m) часто вводят в теории вероятностей как число способов,
которыми можно разбить группу из N спинов на '/2N-\-m спинов,
направленных вверх, и 1/2Д- m спинов, направленных вниз. Наше определение
через производящую функцию эквивалентно этому, но более конкретно, так
как в данном случае совершенно ясно, как правильно производить
вычисления.
Примеры, касающиеся величины g(N,m) для случая N = 10, приведены на рис.
2.4 и 2.5. Для монеты выпадение "орла"-может соответствовать спину,
направленному вверх, выпадение.-"решки" - спину, направленному вниз.
-22
ГЛ. 2. МОДЕЛЬ. ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Пример. Значения (Ж) и (Ж2). Символ (...) обозначает среднее по всем
состояниям модельной системы. Если ориентации спина вверх и вниз
выбираются случайным образом, то мы предполагаем, что каждое .из 2^
состояний появляется с одинаковой вероятностью. Это служит основным
предположением, к которому мы еще вернемся в гл. 3.
Согласно определению Ж, среднее значение полного магнитного момента можно
записать в виде
{Ж)
<Ps)- (14)
Но (р") = 0, так как момент в точке s с равной вероятностью может быть
10 8 6 0 2 О -2-0-6-8-10 Спиновый избыток 2 т
Рис. 2.4. Число различных конфигураций g (N, т) для 5 + от спинов,
направленных вверх, и 5-от спинов, направленных вниз.
Значения g (N, т) соответствуют М<= 10; 2т- спиновый избыток, т. е. п
(4)~л (4). Полное число состояний равно 5
21"= ^ g (10, т). т = -5
Значения q взяты из таблицы биномиальных коэффициентов.
30.
20
10
0123056789 10
Рис. 2.5. Результаты опыта, в котором 10 монет подбрасывалось 100 раз и
