Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киттель Ч. -> "Статистическая термодинамика" -> 17

Статистическая термодинамика - Киттель Ч.

Киттель Ч. Статистическая термодинамика — Москва, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayatermodinamika1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 121 >> Следующая

суммарная энергия постоянна, то величина т - = тг + т2 также неизменна,
но значения тх и т2 могут изменяться и, следовательно, может происходить
перераспределение энергии между системами, находящимися в тепловом
контакте.
Ниже мы покажем, что степень вырождения объединенной системы g(N,m)
связана с произведением степеней вырождения отдельных систем следующим
образом:
В этой сумме т4 изменяется от -1/гЛГ1 до V2JV1, если считать для
удобства, что Nt < Nz.
Рассмотрим сначала такую конфигурацию объединенной системы, при которой у
первой системы спиновый избыток равен 2ти а у второй он составляет 2т2.
Эта конфигурация определяется набором состояний, характеризуемых
фиксированными значениями тх и т2. Число допустимых состояний первой
системы равно gi(N\, mi) и каждое из них может реализоваться одновременно
с любым из gi{N2, т2) допустимых состояний второй системы. Полное число
состояний в конфигурации объединенной системы определяется произведением
gi(N 1, mC)g2{^2, mz). Поскольку т - тх + ш2 постоянно, т2 = т - тх и
произведение можно записать в виде
Различные допустимые конфигурации объединенной системы характеризуются
различными значениями тх. Для получения суммарной степени вырождения всех
допустимых конфигураций следует просуммировать это произведение по всем
возможным значениям ту.
g(N, m) = Xg, (N\, mi)g2{N2, m - m,).
(4)
gi(Nu mx) g2 (N2, m - !щ).
g(N, tn) = ml)g2(N2, m -m,).
(5)
Здесь g(N,m)-число допустимых состояний объединенной системы. По
определению теплового контакта величины N1, Nz и т следует считать в этой
сумме постоянными.
42
ГЛ. 4. ДВЕ СИСТЕМЫ В ТЕПЛОВОМ КОНТАКТЕ
Перейдем теперь к вопросу, имеющему важнейшее значение в статистической
термодинамике. В равенство (5) входит сумма произведений вида gi (Nlt
mi)g2(N2, т - trii). Такое произведение имеет максимум при некотором
значении ть скажем, th\. Тогда число состояний в наиболее вероятной
конфигурации равно
g\ (Nu rh1)g2(N2, m - mx). (5a)
Если хотя бы в одной из двух систем число частиц очень велико, то можно
показать, что по отношению к изменениям гп\ этот максимум оказывается
исключительно резким. Наличие резкого
максимума означает, что статистические свойства объединенной системы
определяются относительно небольшим числом конфигураций. Указанное
свойство характерно для большой системы любого типа, для которой удается
получить точное решение. Эту характеристику (резкий максимум) мы будем
использовать во всех случаях, когда отклонения от наиболее вероятной
конфигурации считаются малыми и когда предполагается, что усредненные
свойства системы в тепловом контакте с резервуаром в точности
определяются свойствами наиболее вероятной конфигурации.
Будем всегда считать, что по крайней мере одна из контактирующих систем
состоит из сколь угодно большого числа частиц; такую систему называют
резервуаром (рис. 4.2). Тогда можно часто заменять среднее значение
физической величины по всем допустимым конфигурациям (см. (5)) на среднее
только по одной наиболее вероятной конфигурации (см. (5а)). Покажем
теперь, что означает такое приближение.
Пример. Две спиновые системы в тепловом контакте. Исследуем для нашей
модельной системы важный вопрос о том, насколько резко меняется
произведение вблизи максимального значения (5а). Расчет (хотя он и
немного утомителен) позволит получить точный ответ. Используем
функции распределения для g\(N,,m,) и g2(N2, m2), определяемые
по-
средством соотношения (2.37). Рассмотрим произведение
( 2гг?, 2т2, \
gi {Nu m,) g2 (N2, m2) = gt (0) g2 (0) exp - - J, (6)
Рис. 4.2. Система, находящаяся в тепловом контакте с резервуаром.
Предполагается, что резервуар всегда состоит из сколь угодно большого
числа частиц, которое во всяком случае значительно больше числа частиц в
системе. Совокупность система+ + резервуар является замкнутой.
ОБМЕН ЭНЕРГИЕЙ И ВЕРОЯТНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ
43
где g 1 (0) обозначает g, (/Vb 0), a g2 (0) - g2 (.Vb 0). Так как nti +
m2 = m, можно заменить m2 на m - m, и тогда получим
gi (Mi, mi) g2 (W2, m - m{)= g\ (0) g2 (0) exp 1 1
( 2m? ' V M,
2 (m - mj):
M2
(7)
Это произведение дает число допустимых состояний объединенной системы в
случае, когда спиновые избытки первой и объединенной систем равны
соответственно 2mi и 2т. Наглядно представить себе характер его изменения
можно с помощью рис. 4.3, хотя приведенные на нем графики получены для
небольшой системы.
Найдем максимальное значение (7) как функцию от Ш\. Заметим, что функция
In у(х) достигает максимума при том же значении х, что и функция у(х). Из
(7) получаем
In gi (TVj, mi)g2 (TV2, m - ttii) - = In g, (0) g2 (0) -
2m;
~N~\
N2
Эта величина имеет экстремум, когда производная по т, равна нулю.
Экстремум может быть максимумом, минимумом или точкой перегиба. Максимум
получается в том случае, когда вторая производная отрицательна, т. е.
кривая обращена выпуклостью вверх.
Для первой производной имеем
дт
{In gi (Mi,mi)g2(M2,m-m,)}= 4", + ш-тI (9)
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed