Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
отмечалось число случаев падения монет "орлом" вверх.
По оси ординат отложено число случаев, в которых из 100 подбрасываний
выпадало данное число "орлов", по оси абсцисс- число падений "орлом"
вверх.
•равен как +р, так и -р. Другими словами, среднее значение момента в
каждой точке s равно
<Рл> = 42 [(+ р) + (~ р)] = 0, (15)
•откуда (Ж) = 0.
Рассмотрим теперь среднее значение квадрата полного магнитного мо-дяента:
N _
(16)
РЕЗКИИ МАКСИМУМ g(N, т)
23
где г и s независимо принимают все значения от 1 до М В двойной сумме
имеются слагаемые, для которых г = s. Вклад от них в (Л2) равен
= (ц2) = Ъ [(ц)2 + (- ц)2] = р,2. (17>
В двойной сумме содержится N таких слагаемых.
Если г ф s, то (ЦгЦз) = 0. Это можно увидеть из рассмотрения среднего ПО
СОСТОЯНИЯМ двух СПИНОВ Pl И Р2, четыре возможных состояния которых
показаны на рис. 2.2. В самом деле,
(В1В2) = '/4 [(+ В) (+ Ц) + (+ В) (- Ц) + (- В) (+ В) + (- В) (- ц)] = 0.
(18)
Члены с г ф s не вносят вклада в (Л2). Поэтому '(Л2) содержит только N
слагаемых, каждое из которых равно р2:
(ЛГ2) = Л1 р2. (19>
Среднеквадратичное значение полного момента определяется как {Л2) и
обозначается ЛСр кв. Таким образом, из (19) находим
^ep.KB = V^fi (20)
Можно показать, что распределение значений Л должно иметь резкий
максимум. Действительно, разделим Лср. кв на максимальное значение Л+
равное Мр: ___
*^ср. кв ^ 3/'N р ______ 1 ,rj.
•^маке ЛГР " '
Если N - макроскопическое число, то это отношение очень мало, и
мы
убеждаемся в том, что пик очень узок и центр его расположен
при Л = 0.
При широком распределении величина ЛСр кв очень велика. (Мы будем
называть N макроскопическим числом, если оно порядка числа атомов в
образце ощутимых размеров. Если N = 1020, то 1 /л/N = Ю-10-)
Резкий максимум g(N, от)
Теперь покажем в явном виде, что для очень большой системы (N 1) функция
g(N,m), определенная соотношением (12), имеет резкий максимум при
значении т = 0. Найдем сначала приближение, которое позволит нам
исследовать зависимость g(N,m) от т при JV > 1 и \tn\ N. Обычные таблицы
факториалов не простираются далее N = 100. Нас же интересуют N ~ 1020, и
поэтому ясно, что необходимо найти какое-то приближение. Одним из таких
приближений мы сейчас и воспользуемся, а результат его применения будет
представлен формулой (37).
В тех случаях, когда рассматриваются очень большие числа, полезно
пользоваться их логарифмами. Взяв логарифм от обеих сторон соотношения
(12), получаем
In g(N, т) = In (ЛП) - In [('/2N + от)!] - In [Q/2N - от)!], (22)
где мы использовали правило логарифмирования произведения: In ху = In х +
In у, In (х/у) = In х - In у. (23).
24 ГЛ. 2. МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Можно записать следующее простое равенство: л! = 1 - 2-3 ... п=1 - 2-3
... (k-l)(k)(k+l)(k + 2) ... п =
I)(fe + 2) ... п. (24)
Используем его для вычисления одного из слагаемых в (22): ('/2М + т)\ =
(l/2N)\ (l/2N + 1) {lJ2N + 2) ... ('/2N + m);
m
In WkN + m)W = In К72Л0!] + S In ('/2N + s). (25)
S => J
Здесь удобно рассматривать только положительные значения т. Это не
накладывает каких-либо ограничений, так как g(N,tn) - четная функция т.
Аналогично имеем
т
In [('j2N - m)l] = In [(ЧМ - ? In (42N -s+ 1). (26)
s(r) 1
Объединив (25) и (26), получаем In [{'/гЫ + tn)l] + In [{42N - m)!] "
2ln[(7"yV)!l + ?tol±i|Sl, (27,
¦(2s/N) '
s=l
причем в аргументе логарифма в (26) мы предположили, что l/2N - s + 1
приближенно равно i/iN - s.
В соответствии с известным разложением в степенной ряд имеем
e±x = l±x± 72jc2 ± ... (28)
Полагая, что хг <С 1, и взяв натуральный логарифм ог обеих сторон,
получаем с точностью до х
± х " In (1 ± х). (29)
Тогда
ln(l+x) - In (1-х)"2х, (30)
или
)п * + * ^ с, I 1 + (2s fN) - 4s
1П I - (2s//V) - ДГ * ^
где х обозначает 2s/N. В этом разложении опущены члены порядка s3/N3
и выше, поскольку s ^ т, и допущено, что m/N "С 1.
Хотя т может быть большим числом, предполагается, что N значительно
больше.
Выполнив теперь в (27) суммирование по s и приняв во внимание приближения
(31), имеем
т т
<32>
РЕЗКИЙ МАКСИМУМ g{N, т)
25
Учитывая, что
1 2 3 -f- ... ш = '/2т (т + 1)>
и предполагая 1< m < iV, получаем для (32):
S = 1
1 + (2s/N) (2 s/N)
YJS = -^-1j2tn{m+ 1)
2tn2
N
(33)
(34)
Таким образом, выражение (22) для Ing(N,tn) принимает
вид
In g (N, т) a* In (N1) - 2 In [('/гЛОП - 2m2/N. (35)
Возводя е в степени, определяемые правой и левой частями
ig д{Ш,т)
Рис. 2.6. Сравнение точного (12) и приближенного (37) выражений для
биномиальных коэффициентов g (N, т) при N = 100.
Величина т варьирует от -50 до +50. По оси ординат отложены значения lg g
(10Э, m), а не g (100, m), чтобы сделать более заметной область изменения
т, где приближенные значения существенно отличаются от точных. Сплошная
линия--точные значения биномиальных коэффициентов, пунктир-гауссово
приближение.
этого равенства, получаем при 1 \т\ -С N\
N\
g(N, т)
¦exp (-2m2/N).
(4%N)l (4tN)I
Найденный результат можно записать следующим образом:
