Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. Окончательное стационарное распределение можно найти явно из (6.3.8) **, и поэтому ответить на все вопросы, касающиеся стационарного мезо-состояния. В частности, можно найти вероятности Яо, я? обнаружить систему вблизи фа или <рс, если ее возраст достаточен для установления равновесия между ними, т. е. это можно сделать по прошествии времени достаточно большого по сравнению с Ica и тас.
2. Времена переходов хса, Iac мы найдем в следующем параграфе.
3. Вероятности разделения па, встречающиеся на второй стадии, мы найдем в § 11.3 как функции начального положения системы.
Вообще говоря, явные выражения удается найтн только для одношаговых процессов, и то только в одномерном случае. Для получения таких приближений предлагались разные методы ***. В следующей главе эти методы будут применены a fortiori к системам, которые непрерывно распределены в пространстве, так что стохастические переменные являются функциями координат. Неустойчивости в таких системах изучались в связи с фазовыми переходами в химических реакциях и популяциях, но здесь мы их рассматривать не будем ****. Упражнение. Покажите, что произвольное, медленно меняющееся распределение P можно записать как суперпозицию гауссианов с одинаковыми дисперсиями.
Упражнение. С помощью (6.3.8) убедитесь в том, что для одношагового процесса (9.1.3) Ps имеет максимумы вблнзн фа И фс И минимумы вблизи ф;,. Получите формулу для относительной величины максимумов. Упражнение. При известном P отношение XcaIiac фиксировано. Почему это не является примером детального равновесия? Значения хса и хас нельзя получить из Ps, потому что они имеют размерность времени. Упражнение. Предположим а1і0 (ф) обладает А устойчивыми нулями, которые разделены А—1 неустойчивыми. Запишите уравнения, соответствующие (11.1.4) и (11.1.5).
581 (1977); Е. L. Koschmieder in: Advances in Chemical Physics 26 (I. Prigogine and S. A. Rice eds., Wiley, New York, 1974) and in: Order and Fluctuations in Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (17th Intern. Solvay Conf.; G. Nicolis et. al. eds., Wiley, New York, 1981).
* Числовые вычисления приведены в работах: S. Grossman and R. Schran-ner, Z. Phys. B30, 325 (1978); W. Ebeling and L. Schimansky-Geier, Physica 98A, 587 (1979).
** Относительно приложений см. работы: К. J. McNeil and D. F. Walls, J. Statist. Phys. 10, 439 (1974); G. Nicolis and J. Turner, Physica 89 A, 326 (1977).
*** M. Mangel and D. Ludwig, SIAM J. Appl. Math. 33, 256(1979); M. Mangel, idem 36, 544 (1979).
**** Stochastic Nonlinear Systems in Physics, Chemistry and Biology (L. Arnold and R. Lefever eds., Springer, Berlin, 1981).
282- Упражнение. Запишите точное стационарное решение для реакции Шлегла (9.3.6) и аппроксимируйте его для больших Я с помощью интеграла, как в (10.5.9). Сравните результат с ошибочным выражением етр [— VjQ]. Упражнение. Для бистабильной системы «относительная устойчивость» * обоих метастабильных мезосостояний при <ра и при <рс дается выражением
Вычислите это выражение для} реакции Шлегла, опуская члены порядка Q-1.
11.2. ВРЕМЯ ПЕРЕХОДА
Рассмотрим бистабильный одношаговый процесс, у которого ai,o (ф) имеет вид, изображенный на рис. 32. Предположим, что система в начальном состоянии находится на одном из участков вблизи фа. Какова вероятность того, что за единичное время система попадает на один из участков в окрестности фс? Ответ не зависит от точного выбора начального участка, потому что система пробегает все участки в окрестности фа за время, намного меньшее того, которое мы хотим определить. В равной мере ответ не зависит и от точного выбора конечного участка. Однако с точностью до этой небольшой неопределенности мы имеем хорошо определенное время перехода тса. Для удобства выберем начальный участок в точке фа, а конечный— в фс.
Задача, таким образом, сведена к проблеме первого прохождения или равносильной ей задаче с начальными данными с поглощающей границей в точке фс. Эта задача была решена в § 6.10 в том смысле, что распределение времени первого прохождения было выражено через решения основного кинетического уравнения с помощью соотношения (4.10.14). Однако настоящая задача имеет дополнительные особенности, связанные с тем, что основное кинетическое уравнение обладает нормированным стационарным решением ps. Это означает, что время первого прохождения конечно. Такой вывод можно легко пояснить. Действительно, все участки посещаются за время, необходимое p(t) для того, чтобы приобрести свой предельный вид Ps.
Поскольку наша система является бистабильной, среднее время первого прохождения из точки фа в фс совпадает с хса. Для того чтобы показать это, рассмотрим уравнение (11.1.4), с помощью которого определяются Tca и тас. Первый член в правой части описывает убывание па, обусловленное переходами из a в с. Второй член описывает переходы из с в а. Последние теперь исключены с помощью поглощающей границы в точке фс. В присутствии этой границы (11.1.4) сводится к
Следовательно, среднее время жизни, предшествующее поглощению,
