Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
279- 5) Ф
Рис. 34. Потенциал, при котором система имеет глобальную устойчивость (а); потенциал, при котором система бистабильна (б); потенциал для случая, изображенного на рис. 33, (в)
Вернемся к бистабильному случаю с хорошо разделяющимися масштабами времени и предположим, что система в начальный момент времени находится на участке вблизи границы Da, т. е. вблизи макроскопически неустойчивой точки фь. Тогда на начальной стадии флуктуации через фь не являются невероятными. Это значит, что имеется непренебрежимая вероятность того, что система не будет придерживаться макроскопической траектории, ведущей в фв, а окажется вместо этого в ф,,. Тогда вблизи точки макроскопической неустойчивости флуктуации приводят к макроскопическому эффекту, Следовательно, уже нельзя разделить макроскопическую часть и флуктуирующий член, как мы это делали в (9.2.9), и флуктуации нельзя рассматривать как малое возмущение. Но все же, несмотря на это, можно вычислить «вероятность разделения», как показано в § 11.3.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что мезосостояния, связанного со стационарным макросостоянием фь, не существует. Любое распределение вероятности в начальный момент времени, имеющее острый пик вблизи срь, эволюционирует во времени и не остается локализованным. Эволюция происходит в три стадии.
СТАДИЯ I. Распределение быстро расширяется, но флуктуации через ф(, еще невозможны.
СТАДИЯ II. Формируются два пика, разделенные впадиной вблизи фь. Обмена вероятностями через фь практически не происходит, и сосредоточенная в обоих пиках полная вероятность
b оо
Лв= J P (X, t) dx, лс = 5 Р(х, t)dx (11.1.3)
— OD b
практически не зависит от времени. Эти вероятности, конечно, определяются начальным распределением. Пики эволюционируют независимо, сначала расширяясь, а потом снова сужаясь по мере приближения к области, где кривые, изображенные на рис. 28, б, снова сходятся.
СТАДИЯ III. Пики обрели свою локальную равновесную форму вблизи фа и фс. Мезосостояние соответствует не одному макросостоя-
280- нию, а является суперпозицией двух, подобно (11.1.1). Это мезосостояние метастабильно, потому что на очень большом масштабе времени флуктуации через фь переносят вероятность между обоими пиками. Тогда ла и лс медленно изменяются в соответствии с уравнением
Константа Ifrac является вероятностью того, что за единичное время система, находясь вблизи фс, в результате флуктуаций через попадает в область Aa в окрестности фа. В конце концов ла и лс достигнут своих стационарных значений, определяемых соотношением между Лд и л*:
KsJxca = Kfrac. (11.1.5)
Пример. Рассмотрим набор N диполей, каждый из которых может быть направлен либо вверх, либо вниз. Намагниченность пропорциональна 2я, т. е. числу спинов, направленных вверх, минус число спинов, направленных вниз. Теория среднего поля Вейса дает (для четного числа N)
Pen = COnst ^ ^ + ехр я2] . (11.1.6)
где K/N — постоянная ферромагнитного взаимодействия. Предполагается *, что л может совершить скачок на одну единицу с вероятностями за единичное время
g (п) -я) ехр [^r я] («—«+1), (11.1.7а)
= + (я—я_1). (11.1.76)
Число N служит параметром Q1 а макроскопическое уравнение для я//У = ф имеет вид
ф = «1(ф)=(у-ф) е2**-(д+ф) е-«».
Ниже температуры Кюри, К > 1, имеется два устойчивых макросостояния і Фа и одно неустойчивое ф = 0. Если система при ^ = О находится в состоянии ф=0, то с течением времени она под влиянием либо внешних возмущений, либо внутренних флуктуаций начинает двигаться к Фв либо к —Фо. Это называется нарушением симметрии: хотя и уравнение, и начальные данные симметричны, а несимметрично конечное макросостояние. С другой стороны, мезосостояние Pn (t), определяемое начальным условием Pn (0) = 6П0, симметрично при всех t > 0.
Примечание. Неустойчивость и бистабильность определяются как свойства макроскопического уравнения. Влияние флуктуаций сводится просто к тому, что они заставляют систему сделать выбор между той или иной макроскопически устойчивой точкой. Аналогично, неустойчивости Тейлора и ячейки Бенара являются следствиями макроскопических уравнений гидродинамики **.
* R. J. Glauber, J. Mathem. Phys. 4, 294 (1963); Th. W. Ruijgrok and J. A. Tjon, Physika 65, 539 (1973).
** S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hvdromagnetic Stability (Clarendon, Oxford, 1961); C. Normand, Y. Pomeau, and M. G. Velarde, Rev. Mod. Phys. 49,
281- Флуктуации просто делают выбор между двумя разными, но равновероятными макросостояниямн н в наших примерах определяют положение вихрей или ячеек в пространстве (на практике над ними часто одерживают верх посторонние факторы, такне, как присутствие границ). Утверждения, что флуктуации сдвигают или разрушают бистабнльность, неверны, потому что в любом случае на мезоскопическом уровне нет четкой границы между устойчивыми и неустойчивыми системами.
Вся информация, описывающая эволюцию системы, содержится, конечно, в основном кинетическом уравнении, но его редко удается решить явно *. Для бистабильных систем не существует удовлетворительной приближенной схемы, потому что макроскопическое поведение и флуктуации тесно переплетаются. Однако для поведения одношаговых систем, даже не решая основного кинетического уравнения, можно установить следующие три характерные черты.
