Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, из (11.4.2) следует, что п — 0 является поглощающим участком, поэтому уравнение (11.4.1) может иметь только одно стационарное решение рп = Srti 0. Все другие решения основного кинетического уравнения стремятся к нему. Это означает, что с вероятностью единица популяции в конце концов вымрет! Симметрия моментов разрешает этот парадокс. Мезосостояние, связанное со стационарным микросостоянием (11.4.4), не является устойчивым, но оно метастабильно. В то время как численность популяции колеблется относительно значения (4.4), всегда существует вероятность, хотя и малая, того, что произойдет флуктуация, которая приведет популяцию к состоянию я = 0, в котором она останется навсегда. На очень большом масштабе времени эта вероятность возрастает до единицы, так что действительно pn(t) Srt 0, хотя и очень медленно; Q-разложение описывает эволюцию на меньших временных масштабах, потому что в нем пренебрегается малой вероятностью этой большой флуктуации, поскольку члены типа e_<:? не появляются в разложении.
Первый вопрос: как долго может просуществовать метастабильное мезосостояние? Или, формулируя это по-другому, можно поставить
291- задачу о вычислении вероятности за единичное время 1 /Tba того, что стационарная популяция вымрет в результате флуктуации.
Метод аналогичен изложенному в § 11.2, однако имеется разница, связанная с тем фактом, что в данном случае основное кинетическое уравнение имеет поглощающую границу. Поэтому помещать такую границу в ф6 нет необходимости, поскольку она уже существует. Достаточно взять начальную популяцию ns и вычислить среднее время первого прохождения к границе п = 0:
CC ж CC
Ча =\tp» (t)dt =2 \Pn(t)&. (11.4.5)
О "=1O
С другой стороны, результат (11.2.13) нельзя использовать без модификации, потому что psn обращается в нуль при п > 0. Поэтому вычисления необходимо проделать заново.
Интегралы по времени в (11.4.5) — мы обозначим их рп—существуют для каждого п > 1. Чтобы найти их, проинтегрируем (11.4.1) от t = 0 до t = оо:
- 6n,? = a(E-l)n/Tfi + ?(E-1-l)r^„ +X(E-I) п(п-\)~рп.
(11.4.6)
Таким образом, задача снова сводится к нахождению оператора, обратного к W, а не его полного спектрального разрешения. Для того чтобы решить (11.4.6), введём удобные обозначения
гп = ап.+ ^п(п-\), gn = ?n, (11.4.7)
rir2 ...rn (11,4.8)
" gig2 ---gn' V . /
Тогда для п > а имеем
Гп~Рп-ёп-гРп-1 = Ъ (П.4.9)
и, следовательно,
- ,gB-lgB-,...gfl- gg?a- {п>а) I nrn-l - '11 + 1 gncn
Для 1 Га имеем
rnPn — gn-lPn-l = — J,
тогда уравнение (11.4.6) для п = а дает —J=I. Далее для я=1 имеем P1=Ijr1, потому что ^r0 = O- Следовательно,
P __ * Г I I 'Sn-1 I gn-ign-2 I I gn-lgn-2 ... gl
" rn I r„_! fn-l^n- 2 ' rn_1rn_2 ... T1
= + (!<"<«)• (11.4.10)
НФп
292- Подстановка (11.4.9) и (11.4.10) в (11.4.5) дает окончательный результат:
а п — 1 во а — 1
^e=LrrLcv+ L (11.4.11)
п= 1 v = 0 я=а+1 8пСп V=O
Второй вопрос состоит в том, какова вероятность выживания для малой популяции. Как уже упоминалось, Q-разложение можно использовать в тех случаях, когда начальная популяция порядка Q. В этом разложении пренебрегается возможность флуктуации, приводящей к значению п = 0, что является очень хорошим приближением для популяции макроскопического размера. Предположим, однако, что начальная популяция состоит из малого числа индивидуумов. Тогда Q-разложение бесполезно и вероятность вымирания на начальной стадии не является пренебрежимой.
Чтобы вычислить 1 ее, сформулируем нашу задачу как задачу о вероятности разделения: либо популяция вымрет в течение начальной стадии, либо она выживет и достигнет макроскопического размера. Тогда мы поместим границу при некотором макроскопическом значении я = а, для которого можно взять Qcp5, и будем искать вероятности ла и ль того, что п достигнет в первый раз а или 0. Ответ дается (11.3.11), или в наших теперешних обозначениях
т а-1
Z ^v-I/Z Cv (11.4.12)
л /
V=I v—m
Упражнение. Покажите, что вероятность того, что единственная бактерия породит макроскопическую популяцию, есть
Упражнение. Подставьте (11.4.7) в (11.4.12) и покажите, что (11.4.12) нечувствительно к точному выбору а при условии, что а — порядка Q н не должно быть намного больше, чем Qcpi.
Упражнение. Найдите стационарное решение (11.4.1) (в котором постоянный ПОТОК вероятности ИЗ бесконечности компенсирует потери B Po).
Упражнение. Если в течение одного поколения случится так, что будут рождаться только мужские особн, вид прекратит свое существование. Оцените вероятности того, что это случится с homo sapiens в течение ближайших 6000 лет. Сравните результат с вероятностью того, что вид не переживет своей начальной стадии, как, например, в случае, если бы Адам и Ева имели только сыновей.
11.5. КРИТИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Пусть фс—стационарное макросостояние, аь 0 (фс) = 0. Мы видели, что фс по крайней мере локально устойчиво, если a'lt 0 (фс) < 0, и неустойчиво, если а'ъ 0 (фс) > 0. Если а^ „ (фс) = 0, то, вообще говоря, оно может быть неустойчиво, но может быть и устойчиво. Напри-
