Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
11.6. ДИФФУЗИЯ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В этом разделе мы рассмотрим другой вид бистабильности, аналогичный, но не тождественный тому, который рассматривался до сих пор в связи с одношаговыми процессами. Возьмем квазилинейное уравнение Фоккера — Планка (10.2.4) для диффузии во внешнем потенциале U (х):
-ЧГ—д7и Mp +9IJT- (11-6-1)
Предположим, что U (х) — бистабиль-ный потенциал, имеющий вид, изображенный на рис. 38. Для некоторых частных видов U (я) это уравнение было решено явно***. Однако в общем случае явные решения, за исключением стационарного, неизвестны. Для начала можно применить такое же разложение, как в гл. 9, но параметром разложения, как в § 10.5, будет служить 0, а не О-1. Вместо макроскопического уравнения мы получим теперь низкотемпературное детерминистическое уравнение:
x = — U'(x). (11.6.2)
* Р. М. Morse and Н. Feshbach, Methods of Theoretical PhysicsI (McGraw-Hill, New York, 1953), p. 609.
** H. Dekker, Physica 103A, 55 and 80 (1980).
*** N. G. van Kampen, J. Statist. Phys. 17, 71 (1977); H. Brand and A. Schenzle, Phys. Lett. 68A, 427 (1978); M. Morsch, H. Risken and H. D. Vollmer, Z. Phys. B32, 245 (1979); M. Razavy, Phys. Lett. 72A, 89 (1979).
296-
Рис. 38. Симметричный биста-бильный потенциал Это приближение является хорошим, когда выполняется условие устойчивости U" (х) >0, но в окрестности неустойчивой точки b на рис. 38 это уже не так. Вблизи этой точйи решения уравнения (11.6.2) теряют физический смысл, потому что их уже нельзя отличить от флуктуации, как мы это видели в §11.1. В этом случае решения уравнения (11.6.1) с начальным условием 6(х—х0) при ха, близких к Ь, нельзя получить как решения (11.6.2) плюс малые флуктуации. Однако явные выражения для времен перехода хса и хас, а также для вероятностей разделения яа(х0) и я,,(;с0)* можно получить с помощью того же примера, что использован в § 11.2 и 11.3.
И опять тса можно отождествить со средним временем первого прохождения частицы, первоначально находящейся в а, а затем диффундирующей в с. Соответственно мы ставим поглощающую границу в с и записываем преобразование Лапласа от уравнения (11.6.1):
-б (*-*„)+ SP (X, s|a;0)=A + p{Xt sJ*o). (11.6.3)
Полагаем Р(х, s | л:0) = S-l^s (л:) -Ь 1Mj (^r. sl*o) и используем уравнение обновления для того, чтобы получить аналог (6.10.14). В результате получаем
= °|а). (П.6.4)
При S==O уравнение (11.6.3) можно решить явно. Подставив результат в (11.6.4), по аналогии с (11.2.14) получим
С X
= I ^(x')dx'. (11.6.5)
а — оо
Точно так же, повторив вычисления § 11.3, по аналогии с (11.3.11) для вероятности разделения в уравнении диффузии (11.6.1) получим
Яв (X0) = J / J ^ = е" w/e dx / \ е- <*>/е dx. (11.6.6)
X0 а Ь Ь
Упражнение. Получите (11.6.5), не применяя преобразования Лапласа, а путем непосредственного интегрирования основного кинетического уравнения по t от нуля до бесконечности, как при вычислении вероятности разделения в § 11.3.
Упражнение. Покажите, что (11.6.5) практически дает
е с Г dx
-TjT^w (и-6-7>
а
и, следовательно, (11.1.5) удовлетворяется.
* Аналогичные задачи в случае большего числа измерений изучены в работе: Z. Schuss, Theory and Applications of Stochastic Differential Equations (Wiley, New York, 1980).
297- Упражнение. Предположим, что U (х) имеет последовательность минимумов* а. Ь, с, ..., но U (± оо) = -J- оо, что обеспечивает нормировку Ps (х) Время перехода тсь нельзя отождествить со средним временем первого прохождения из 6 в с. Однако можно найтн все времена переходов с помощью (11.1.5):
С
хсЬ 1 Г d*
И T*k- (11-6-8>
Упражнение. В потенциале из предыдущего упражнения можно также вычислить т^б, поместив отражающую границу между а и 6, а затем вычислив время первого прохождения из 6 в с. Покажите, что в результате снова получится (11.6.8).
Упражнение. Пусть U имеет три минимума: а, Ь, с. Предположим также, что барьер между Ь и с намного выше барьера между а и 6. Тогда
• _ пе , яа -}- ль
T — XcI1Xba
X be
{
.-L .
tab Ча J
Упражнение. Молекула А диффундирует в растворе, содержащем одну заданную молекулу В. Когда А попадает на сферу радиуса b вокруг В, происходит реакция, в результате которой молекула исчезает. Покажите, что, когда А в начальном положении находится на расстоянии г0, вероятность того, что она прореагирует, а не уйдет в бесконечность, есть Ь/г0.
Другой путь анализа (11.6.1) состоит в сведении его к задаче на собственные значения, как в § 5.7. Положим
P (х, 0 = ФМе-и,
0IF+^ylWoW = -wiW- (1L6-9>
Собственными значениями являются такие значения —к, для которых соответствующее значение обладает конечной нормой в смысле скалярного произведения (5.7.4):
(ф,ф)= j
ф(*)2 А /
v ' dx < оо.
Ps(x)
Одно собственное значение есть ^0 = O с Ф0 (х) = Ps (х). Все другие собственные значения —Я„(я=1, 2, 3, ...) действительно отрицательны и невырождены, а соответствующим образом нормированные собственные функции Фи (а') удовлетворяют условию
