Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
її
вероятно, знает большинство из вас, такое пространство называется фазовым.
С точки зрения, которая нас ин-Теорема Лиувилля тересует, гамильтоновы уравнения движения можно записать в чрезвычайно простой и сжатой форме, а именно, в форме теоремы Лиувилля, которая попросту состоит в следующем. Рассмотрим малую область А (см. рис. 1, на котором фазовое пространство изображается плоскостью). Каждую точку множества А можно принять за начальную точку для нашей системы. Траектории при этом будут описывать движение системы
согласно уравнениям движения. Рассмотрим теперь все точки этой области как начальные точки нашей системы, и посмотрим, что произой-дет по истечении ^ времени t. По истечении этого времени снова объединим наши точки в множество, которое мы назовем At. Это — множество, которое мы получили из А по истечении времени t вследствие движения точек. Вы можете представить себе множество A1 весьма простым образом, например, в виде круга или шара. На самом деле, ввиду сложности движения в бтг-мер-ном пространстве этот образ будет значительно более сложным. Самое важное здесь то, что его объем остается постоянным. Собственно это и составляет содержание теоремы Лиувилля. Она гласит, что объем множества А есть инвариантная величина. Эта теорема следует из уравнений движения Гамильтона, но и наоборот, из нее вытекают уравнения движения Гамильтона. Таким образом, если вы хотите раз и навсегда запомнить простейший способ описания движения системы материальных частиц, то следует просто запомнить, что в фазовом простран-
Рис. 1.
12
стве объем во время движения системы сохраняется.
Поскольку наша система является консервативной, мы должны сделать следующий шаг. Именно, поскольку энергия должна быть постоянной во времени, «в игру входит» не все фазовое пространство. Роль энергии играет гамильтониан, так что в действительности мы будем находиться не где-либо в фазовом пространстве, а на поверхности H(q, р) — Е.
Надо еще предположить, что эта Теорема Пуанкаре поверхность ограниченная. Одним о возвратах из условий в указанной теореме
Пуанкаре является как раз ограниченность этой так называемой поверхности энергии. Пользуясь теоремой Лиувилля (не останавливаясь на несущественных для нашей цели деталях), легко выяснить, что происходит на этой поверхности. Все, что следует сделать, — это взять поверхность, близкую к указанной, и рассмотреть малый цилиндрический («прокатанный») объем, ограниченный этими двумя близкими поверхностями. Теорема Лиувилля утверждает, что этот объем является инвариантом движения. Теперь мы должны рассмотреть, что же будет происходить на нашей поверхности, если другая неограниченно сближается с ней?
Сделав это, убедимся в следующем. Если рассмотреть элемент поверхности do, т. е. небольшой «кусочек» на поверхности энергии, и проследить за его движением, то по истечении времени t этот элемент подвергнется преобразованию. То, что останется неизменным — это do, деленное на квадратный корень из абсолютной величины градиента функции Я. Если теперь мы возьмем множество А на поверхности энергии, то и множество A1 будет лежать на поверхности энергии, так как энергия сохраняется. Таким образом,
С da _P do
3|gradtf| -) lgradtff W
A At
Это не новый факт, а простое и сжатое утверждение, вытекающее из динамики замкнутых консервативных систем.
13
Только теперь математик, — если он заслуживает этого звания, — выделит то, что здесь существенно. В отношении всей этой картины существенно не то, что мы имеем дело с механической системой, движущейся в соответствии с уравнениями Гамильтона, а то, что мы имеем следующую простую ситуацию. Рассмотрим некоторое абстрактное множество, скажем, Q, которое будет играть роль поверхности энергии. Точки этого множества обозначим через со. Допустим, далее, что мы имеем также однопараме-трическое семейство преобразований 7\множества Q— произвольное семейство, зависящее только от времени. Единственное условие, которому должны подчиняться эти преобразования, заключается в ра-
Такое условие очевидно, поскольку то, где мы оказываемся по истечении времени t + s, определяется тем, где мы были в момент t, и нашим движением в течение дополнительного времени s. Это свойство называется свойством полугруппы. Это лишь название и больше ничего. Важно здесь то, что имеется такое однопараметрическое семейство преобразований, которое отвечает рассматриваемому движению. Если со — начальная точка, то T1 (со) есть точка, в которую придет со по истечении t секунд.
И, наконец, самый существенный факт. В указанном пространстве мы имеем меру. Когда я говорю слово «мера», то не для того, чтобы вдаваться в какие-либо связанные с этим детали; все, что мне нужно — это класс подмножеств, из которых каждому должно быть сопоставлено число, такое, как, например, объем. И вот для весьма широких классов подмножеств существует определенная мера, которая обозначается символом [х(^4)или |^4|. Эта мера — попросту интеграл:
И, наконец, самое важное — наше преобразование сохраняет меру. Что это значит? Это значит, что если
