Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
венстве
TtTs = T1
А
14
мы возьмем множество А и преобразованное множество At, то мера множества А будет той же самой, что мера множества A1.
Таким образом, мы абстрагировались от всего, что нам известно из механики. Мы отошли от понятия поверхности энергии, движения и даже от первоначальной формулировки теоремы Лиувилля, утверждая лишь то, что мера сохраняется. На основании этого теперь мы докажем в несколько строк теорему Пуанкаре. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывное время, рассмотрим один за другим отдельные моменты времени и преобразования T1, T2, T3, отвечающие истечению 1, 2, 3, ... секунд. Мы можем написать, что T1 равно T1, T2 = Г2, T8 — T3 и т. д. Важным условием, о котором надо вспомнить, является то, что мера всего пространства конечна. Это условие появляется, как абстракция, из того факта, что мы имеем дело с ограниченной поверхностью энергии.
Возьмем множество А, какую-либо точку со, принадлежащую ему, и посмотрим, что с ней будет происходить. Эта точка преобразуется в Ты, затем в 7'2g), Го) и т. д. Полученное множество точек называется орбитой. Я хочу доказать, что когда-нибудь мы снова вернемся к множеству А, если только выбор начальной точки не был слишком неудачен. Я хочу показать, что некоторые точки Th (со) будут снова принадлежать множеству А. Это поможет нам заодно установить, какие точки можно считать неудачно выбранными.
Итак, допустим, что наше предположение неверно, и некоторые точки никогда не возвращаются в наше множество, или, точнее, их образы никогда не попадают в А. Рассмотрим множество В тех точек А, которые никогда не возвращаются в А. Мы должны как-то показать, что множество В должно быть очень малым: выбор начальной точки в множестве В должен быть редким случаем. Если это так, то подавляющее большинство начальных точек когда-либо возвращается в А.
Дальнейшее теперь весьма просто. Берем множество B1 затем образ множества В, потом образ образа
15
множества В и т. д. Это дает множества В, T (В), T2 (В) и т. д. Мы утверждаем, что эти множества никогда не пересекаются. Почему? Допустим, что в противоположность нашему утверждению T (В) и T3 (В) пересекаются; это означает, что существует точка, принадлежащая обоим множествам одновременно. (Я должен был заметить, что это преобразование T однозначно обратимо. Так обстоит дело в механике, ибо если мы знаем, где мы сейчас, то мы можем с определенностью сказать, где мы были 10 минут тому назад.)
Допустим теперь, что P — общая точка множеств T (В) и T3 (В). Рассмотрим T 1 (P), т. е. точку, бывшую во времени один шаг назад. В результате мы получим точку множества В, так как мы выходили из точки, принадлежащей множеству T (В). Это должна быть также точка множества T2 (B)1 поскольку точка P принадлежала также множеству T3 (В). Итак, точка P принадлежит как T2 (В), так и В. Но это невозможно, ибо В было таким множеством, ни одна точка которого не возвращается в В. Поэтому наше допущение о том, что T (В) и T3 (В) имеют общую точку, надо отвергнуть. Аналогичное рассуждение можно применить для доказательства того, что каждые два из рассмотренных множеств не пересекаются.
И на этом все заканчивается, поскольку теперь мы имеем бесконечно много множеств, не пересекающихся между собой. Все они имеют одну и ту же меру, поскольку рассматриваемое преобразование ее сохраняет. Все эти множества лежат на поверхности энергии, которая образует множество конечной меры. Если бы мера каждого из этих множеств была положительной, мы имели бы бесконечно много разъединенных кусков, каждый положительной меры, помещенных в множество конечной меры. Это, очевидно, невозможно. Таким образом, мера множества В должна быть равной нулю, иначе мы не смогли бы разместить это бесконечное количество множеств. Высказывание о том, что начальная точка была выбрана неудачно, означает, таким образом, что мера
16
множества точек этого типа равна нулю. Это, по существу, и есть точный смысл теоремы Пуанкаре о возврате.
Я хотел бы обратить ваше внимание на то, как часто математическая абстракция, т. е. когда мы отбрасываем все, что несущественно, и оставляем только то, что присуще данной проблеме, — упрощает задачу. Действительно, доказательство теоремы Пуанкаре, с которым вы только что ознакомились, вообще не приводит к особой проблеме. Вы не должны представлять себе ряд точек, совершающих сложное движение в трехмерном пространстве. Все свелось к чрезвычайно простому и интуитивно ясному понятию, именно, к движению одной точки в фазовом пространстве, причем движение описывается с помощью преобразований, сохраняющих меру.
Вернемся теперь к парадоксам: их два. Один из них был парадоксом обратимости, другой — парадоксом возврата, связанным с теоремой Пуанкаре. Останавливаясь на них, мы оказываемся в ситуации, внушающей беспокойство. С одной стороны, было чрезвычайно полезно иметь в распоряжении //-теорему Больцмана, которая, так сказать, связывает термодинамику с механикой. С другой стороны, беспокоил факт, что эта связь оказалась не вполне состоятельной. Ввиду этого встал вопрос, как примирить вывод Я-теоремы, который, как бы там ни было, заключает в себе какую-то долю истины, с трудностями, возникшими из упомянутых выше парадоксов. Сам Больцман, как и некоторые другие, предложил искать разрешение этих трудностей в трактовке данного вопроса с вероятностной точки зрения. Мы бы сказали так: на самом деле так будет не всегда, но с преобладающей вероятностью будет так. Можно процитировать здесь Джиль-берта и Сулливана *): «Как, никогда? Никогда. Как, никогда? Ну, лишь иногда.» Возникло намерение описать факт непременного возврата с помощью
