Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Авторы многих известных английских оперетт. (Прим. перев.)
17
вероятностного выражения. Как сам Больцман, так и его последователи не имели в то время четкого взгляда на свои аргументы и объяснения.
Следует признать тот факт, что даже сегодня мы не знаем ответов на все связанные с этим вопросы. Но все же удается дать состоятельное описание без каких-либо внутренних противоречий.
-1 По крайней мере, для идеального
Простая модель газа я хотел бы показать, как это с такими же можно сделать. С помощью весьма трудностями простой модели я хочу сейчас еще -1 раз пояснить обсуждаемую «болезнь» и ее «лечение». В своей основе эта модель является упрощением другой модели, которую много лет назад предложил Эренфест. Думаю, что мы можем не обсуждать модель Эренфеста, ибо та модель, о которой я буду рассказывать, имеет все соответствующие черты. Сверх того, она будет легкой для расчетов. Мы снова встречаемся здесь с традиционным методом в науке: именно, мы пробуем абстрагироваться от весьма сложной ситуации, конструируя более простую, в которой содержатся трудности предыдущей, но которая свободна от излишнего балласта деталей. Нам нужна модель, имеющая те же самые трудности, но для которой легче будет проводить вычисления, обсуждать результаты и т. д.
Я намереваюсь представить вам модель, на которой смогу осуществить то, что сделали Больцман и Гиббс. Мы покажем все трудности, связанные с ней, точнее, те самые два парадокса, — и заодно — как их можно в конце концов преодолеть, по крайней мере, в некотором удовлетворительном смысле. Эта модель даст нам также повод обсудить уравнение Больцмана и связать его с другими фактами.
Эта модель не имеет ничего общего с газом или какой-либо иной механической системой. Однако, пусть это вас не беспокоит, так как мы обнаружим всевозможные аналогии. Эта модель состоит в следующем. Рассмотрим окружность, а на ней п равноудаленных точек (вершины правильного вписанного многоугольника). Отметим некоторое число их, на-
18
пример, т. Эти т точек образуют множество, которое обозначим для сокращения записи через S. В каждой из п точек помещается шарик. Это может быть черный или белый шарик. Для определенности предположим, что в момент t = О все шарики черные. Перейдем теперь к динамике этой модели. В течение каждой единицы времени (будем рассматривать модель с дискретным временем, а продолжительность элементарного промежутка времени будет единицей) каждый шарик движется на один шаг против часовой стрелки, но со следующим условием: шарик, вышедший из точки множества S, изменяет свой цвет. Если же точка не принадлежит S1 выходящий из нее шарик сохраняет свой цвет. В следующей стадии движения новые шарики, попавшие в S, снова будут двигаться против часовой стрелки, менять цвет, остальные будут его сохранять и т. д.
Возникает вопрос: что будет происходить в течение длительного промежутка времени? Прежде всего, вы будете склонны интуитивно утверждать, что если множество S, в котором происходит перемена цвета, достаточно нерегулярно, то в конце концов мы получим приблизительно половину белых и половину черных шаров. Уверяю вас, что если бы мы прибегли к голосованию, то получили бы именно такой ответ. Проанализируем теперь этот ответ. Наш анализ будет простым, непосредственным подражанием тому, что сделал Больцман, и вы увидите, где возникают парадоксы. Обозначим через Nb (t) число белых шариков в момент t, а через Nc (t) — число черных шариков в этот же момент t.
Вначале мы имеем условие, что Nc (0) = п. Это и есть мое начальное условие. Пусть Nb (S, t) и Nc (S, t) будут числами соответственно белых и черных шариков в множестве S в момент t. Имеем закон сохранения:
Nb(S,t) + Nc(S,t) = m. (5)
Теперь напишем другой закон сохранения для этой модели. Я пойду за Больцманом, точно копируя то, что он сделал для случая газа. Что мы можем
19
сказать о Nc (t + 1) — числе черных шариков в момент t + 1. Это, очевидно, число черных шариков в момент t плюс те шарики, которые мы приобретаем, минус те, которые мы утрачиваем. Но что приобретается? Приобретаются те белые шарики, которые находятся в множестве S. Утрачиваются же все те черные шарики, которые находятся в множестве S. Ввиду этого, имеем
Nc (t + i) = Nc (t) + Nb (S, t) - Ne (S, t), (6)
Nb(t + l) = Nb(t) + Nc(S,t)-Nb(S, t). (7)
Чтобы пойти дальше, нужно сделать некоторое допущение. Именно, если прошло некоторое время, и если множество S достаточно нерегулярное, шарики должны быть более или менее равномерно распределены. Это означает, что доля белых шариков в множестве S должна быть такая же, как их доля в множестве всех шариков. Ввиду этого разумной аппроксимацией следует считать такую:
Nc(S,t)^ N c(t), (8)
Nb(S,t)^^Nb(t). (9)
Ни один разумный человек не станет против этого возражать. Уверяю вас, что если бы подобная ситуация встретилась в обыденной жизни, вы согласились бы с таким допущением без колебания. В самом деле, трудно было бы мыслить иначе — это очевидно.
Теперь мы можем приступить к решению. Вычитая уравнение (7) из уравнения (6) и используя наши предпосылки, получаем
