Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Nc(t + l)-Nb(t + l)g±
Ці _ 2 ^)[7Vc(i)-7Vb(0]- (8')
Это — одно из простейших разностных уравнений; оно связывает то, что происходит в момент t + 1, с ситуацией в момент t. Из этого уравнения можно тотчас же увидеть, что излишек черных шаров над
20
белыми дается формулой:
Nc(t)-Nb(t) ^ ІУС (0) — JV6 (0) Л 2 ту ^
Допустим теперь, что 2т меньше п, т. е. что fx = min меньше 1/2. Если мы принимаем все высказанные ранее допущения, то излишек черных шаров над белыми будет показательно убывать, и по истечении соответствующего времени количества шаров будут почти равными. Более того, мы
встречаем здесь одну из черт Я-теорема Я-теоремы: эти количества не
только выравниваются, но это выравнивание необратимо.
Это так хорошо отвечает нашей Парадокс интуиции, что мы становимся
обратимости склонны не замечать трудностей.
В самом деле, посмотрим на нашу модель с другой стороны. Прежде всего, она полностью обратима, и мы снова имеем то же положение, что и в динамике. Допустим, что вышеизложенное заключение верно. Исходя из п черных шариков, сделаем, скажем, тысячу шагов. Если мы повернем множество S против часовой стрелки на один шаг и далее назовем каждый черный шар белым, а белый черным, то шарики будут идти по часовой стрелке вместо предыдущего направления. Модель будет нечувствительна к этого рода различию, и указанная ранее разница будет далее уменьшаться показательно. Но после 999 шагов мы должны будем вернуться к прежнему положению. Теперь ясно, что наше заключение не выдерживает критики. Это как раз и есть парадокс обратимости для нашей модели. '
Другой парадокс здесь очень прост,
Парадокс так как мы ВИДИМ, что после 2п
возврата шагов мы возвращаемся к исход-
ному положению. Модель подобрана так, что она строго периодична. Будем сопоставлять цветам числа +1 и —1; скажем, белый цвет пусть отвечает числу —1, а черный — числу +1. В течение п шагов каждый шарик, все равно откуда
21
он вышел, пройдет все точки множества S. Его цвет переменится т раз, так что окончательный цвет будет отвечать числу (—Если бы т было нечетным, то черный шарик стал бы белым. Если тот же путь пробежать вторично, то снова будет т изменений цвета, так что мы наверняка вернемся к исходному цвету. Наша модель, таким образом, полностью периодична с периодом 2п\ здесь мы имеем в точности или хотя бы в значительной мере ту же ситуацию, что и в случае реального газа.
Возникает вопрос, где же ошибка? Ошибка, наверное, состоит в предпосылках (8) и (9), так как нет сомнения, что правила «сохранения» верны. Кроме указанных предположений, мы не делали никаких других. После них мы воспользовались лишь элементарной алгеброй. Эти предположения или, во всяком случае, некоторый аналог их сделал и Больц-ман, хотя он и не знал, что это было гипотезой. Об этом предположении в настоящее время говорят, как о «Stossanzahlsatz» (теорема о числе столкновений). В оригинальном выводе Больцмана оно выглядело не новым предположением, но скорее чем-то жизненно связанным с моделью, если можно так выразиться. Мы, однако же, хорошо знаем теперь, что это — предположение, и должны попробовать его как-либо обосновать.
Если мы хотим сохранить наше заключение, которое, как мы можем считать, содержит в себе некоторую долю истины, мы должны каким-то образом по-новому сформулировать и иначе интерпретировать нашу модель. Может быть, называя вещи по-иному, мы будем в состоянии спасти наш вывод. Это давно применяемая в науке практика исследования. Если в выводе есть что-либо неверное, но заключение, несмотря на все это, представляется в известной мере справедливым, нужно поставить проблему по-другому, чтобы придать ей другой смысл. Покажем, что можно освободиться от всех этих трудностей просто, а именно, начав мыслить статистически.
На некоторые из возражений можно ответить теперь же. Прежде всего, о парадоксе возвращений.
22
Трудности возникают тогда, когда рассматривается очень большой промежуток времени — порядка п. Если п — число Авогадро (~1023), и если эксперимент продолжается 1/10, 1/100 или 1/106 секунды, то пройдет много времени, пока он повторится. Может быть, мы сможем спасти наши выводы, предположив, что они имеют место только для промежутков времени, малых сравнительно с п? Если это так, посмотрим, как следует уточнить это предположение. Однако другое возражение, именно, касающееся движения в одном направлении, а затем внезапного изменения модели и движения в противоположном направлении — еще имеет место. В свою очередь оно снова связано с короткими промежутками времени. Ничто не мешает продвинуться на несколько шагов в направлении против часовой стрелки, продвинуть множество S на единицу против часовой стрелки, затем изменить цвета шариков и пойти в другую сторону. Очевидно, нельзя далее утверждать, что разница в числе черных и белых шариков постоянно уменьшается, как это показывают наши формулы. Возникает вопрос о том, как наиболее естественным способом освободиться от такого положения и все-таки прийти к выводу, который бы по крайней мере напомнил нам предыдущий результат. И здесь на сцену выходит вероятностный анализ.
