- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
МОДЕЛИ С ДИНАМИЧЕСКИМ КРУЧЕНИЕМ
На примере поляризации вакуума спинорного поля в пространстве U4 мы убедились, что наиболее общий гравитационный лагранжиан должен включать члены, квадратичные по кривизне и четвертой степени по кручению. Соответствующие уравнения поля будут уравнениями четвертого порядка для компонент метрического тензора и, в отличие от теории Эйнштейна—Картана, дифференциальными уравнениями второго порядка для компонент тензора кручения, т. е. взаимодействие «спин—кручение» — динамическое.
Модели теории тяготения, лагранжиан которых содержит квадрат тензора кривизны, в рамках эйнштейновской теории появились впервые для разрешения проблемы сингулярностей [223—225], поскольку рядом авторов [248, 227, 226] была высказана гипотеза, что такого рода члены могут дать условия регулярного перехода от сжатия к расширению. Указанные добавки к Гильберт-эйнштейновскому действию можно также обосновать за счет квантового эффекта поляризации вакуума-на фоне классической метрики, как мы уже подчеркивали в § 17.
В калибровочной трактовке гравитационного поля появление лагранжианов, квадратичных по кривизне, вполне естественно, поскольку независимыми динамическими переменными в такой теории, как мы уже отмечали, являются тетрады и коэффициенты связности. Напряженностями этих полей будут 2-форма кривизны
Fyvab — ь + Гцас1\С()—I *асГ/'b (VI.1)
и 2-форма кручения
Qanv = SJilla — OllIiva + TilabIihv — rva6 Iihll, (VI .2)
Поэтому понятно, что в формализме первого порядка (т. е. если /"Vb и Г„аь независимы) динамические уравнения для тетрад и связности можно получить только из лагранжианов типа F2 и Q2. Теория Эйнштейна—Картана, в которой в качестве гравитационного лагранжиана выбран скаляр кривизны пространства U4, является в этом смысле вырожденной теорией и в качестве минимального калибровочного расширения ОТО неудовлетворительна с точки зрения подхода к связности гравитационного поля как к янг-мяллсовс«ому потенциалу [155]. Однако скаляр 'кривизны необходимо включать в общий лагранжиан для; того, чтобы обеспечить соответствие с эйнштейновской гравитацией.
Ш- Наличие различных подходов в калибровочной теории гравитации (см. гл. III), а также неоднозначность в выборе лагранжиана (последняя связана с больший набором скалярных величин типа F2, Q2 и Q4) требуют сопоставления различных вариантов теории и отыскания такой теории, которая' приводила бы к наиболее удовлетворительным физическим следствиям.
Во главу угла анализа различных вариантов необходимо, по нашему мнению, поставить следующие принципы.
1. В отсутствие частиц со спином теория должна соответствовать ОТО, по крайней мере в некотором порядке постньютоновского приближения.
2. В теории должны отсутствовать сингулярности или существовать условия для остановки "коллапса.
3. Теория должна быть ренормируемой и унитарной.
Заранее скажем, что нам пока не известна какая-либо модель, которая полностью удовлетворяла бы этим требованиям.
Здесь мы обсудим точные решения в моделях с динамическим кручением и спектр частиц в них. Последнее важно для нахождения калибровочных условий, которые приводили бы к отсутствию нефизических состояний в теории.
Рассмотрим точное вакуумное решение пуанкаре-калибро-вочной теории гравитации предложенной Хелем с сотрудниками [146]. Лагранжиан такой теории был выбран в виде
Lg = A [A +-L
~ F + -i- Qva? KQvap + Ci2Q'^ +
+ ^vpQf) + Fam [F'W Г Z1F^ps + Z2FVtaP
+
^ga6FM + f^Ff» + /5rtpv^vFMv] }, (VI.3)
где h = det (Ka), F = h^ahybF^ab\ %, I, A, k, d{ и fj — произвольные константы. Этот лагранжиан в пространстве абсолютного параллелизма эквивалентен гильберт-эйнштейновскому> если .??=1/2, d2 = —\, <4 = 2, А и все /,• равны. нулю, и приводит с точностью до четвертого порядка в постньютоновском приближении к результатам эйнштейновской теории, если d2 = 0, а все остальные константы такие же, как и в предыдущем случае.
1 Выпишем лагранжиан, соответствующий последнему случаю, поскольку он наиболее близок к янг-миллсовскому виду
L =--FamF«W + [- QaPvQafiv + SQMeI- (VM)
"При равном нулю кручении этот, лагранжиан переходит в лагранжиан с квадратичными по кривизне пространства V4 членами, который в квантовой гравитации оказывается ренорми-руемым, но не унитарным [241]. ¦ \
109- Уравнения поля, получаемые варьированием (VI.4) по тетрадам и кручению с учетом (VI.2), имеют ВИД -
~~ f VxQap* + V«QV + QttIvQaw ~ QvupQvM«х ~
- Q VvQapv-SPavvQHV + -L oVQMQam + -L o?Q\vQV +
+ -у ( -F^Fatm
О, • (VI.5)
--\ (Vv^ap7v--L Q^v Vv - QhvFafv) +
+ Qa4 - QJ'a - QNri^ + Q\?ov ) = О, (VI .6)
где V = d-{ }.
Если положить в (VI.4) — (VI.6) кручение равным нулю, то лагранжиан (VI.4) совпадет с эддингтоновским лагранжианом [261], «о уравнения (VI.5, 6) не будут тождественны уравнениям, полученным из эддингтоновского лагранжиана, а именно:
F°>»°(g)Fa^(g)-4A«F^(g)FaM(g)=0, VvV = O.
Следует подчеркнуть, что решения этих уравнений [262J попадают в класс решений для эддингтоновского варианта гравитации [261], но не наоборот. Так что уже на этом примере видно существенное различие в предсказаниях аффинно-метрической -и метрической теорий гравитации. Полная классификация таких решений была сделана в работе [262].
