- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
дх: Г;;; Л (*)-> гЧ./Ґ' ^ - (дат»>) T*-;;^ -'...-- (даЛ) Г;;;;^ + (3V,т») Tu; Д + ... + (3Урт*) (Г. 1)
и называется дифференцированием, или производной Ли вдоль векторного поля т.
Рассмотрим группу Ли G, эффективно действующую справа в многообразии X (т. е. для любого элемента g^G имеется ,їєі такое, что gx-фх). Всякому ее генератору / можно поставить в соответствие векторное поле
Т/ (*) = -J- exP (Sf) (х) !^о,
as
называемое фундаментальным векторным полем, такое, что
д~ =/.
т/
Сопоставление приводит к отождествлению вектор-
ных полей и дифференцирований, и нередко векторные поля определяются именно как дифференцирования. В частности, t»+-*д». ¦ ~
Обозначим через Dx(X) линейное пространство всех векторных полей класса С00 на многообразии X. Операция (Г.1) на Dao(X) сводится к коммутатору векторных полей
[т, т'] = (т" д» Tv' — т"-'.д» TV) dv, который также является векторным полем и задает на Dx(X)
117- структуру алгебры Ли. В частности, если G — группа Ли, действующая эффективно справа в X, сопоставление /-> т>-»-ЭТ/ = —/ определяет изоморфизм алгебры Ли ® на подалгебру В Dx(X).
Внешние дифференциальные формы. Пусть Q<? векторное пространство q раз ковариантных кососимметричных тензоров на 7?п({2?>п = 0). Рассмотрим ассоциированное с T(X) расслоение Xq" с типичным слоем Q?. Его дифференцируемые сечения называются внешними дифференциальными формами степени q на X; 0-формами считаются вещественные функции на X.
Обозначим через Q«(X) векторное пространство внешних дифференциальных <7-форм на X и определим прямую сумму
q
? (X) = ф Й* (X). На Q(X) может быть задана структура градуированной алгебры введением операции Д внешнего произведения форм, которая удовлетворяет следующим условиям:
а) если G^Qp, ff'G?", то a/\a'^Qp+q\
б) сгЛа'=(-1)и0'Л<т;
в) (а + о') Да"=аДа"+ а'Да".
Всякое пространство iQ«(X) можно представить как внеш-
Q
нее произведение пространств 1-форм Q17(X)== Л Q1 (X). Пусть {а^} — базис Q1(X), например, a>x = dx>x. Тогда базис пространства Q1? может быть образован формами {o?l Д ... Д ДсА), где выбрано какое-либо одно упорядочение набора индексов ([Ль..., H9). Операция Д в таком базисе имеет вид
от Д or' = (0(І1..Л(Л Л ... Л <А) Л К...Vf/1 Л ... Л crvp) = (^1 • • • ' • • vpVm1...^;,...4- XOcilA... Л CTcW
V «1 • • • <*q+p / q Р <v.....V
где суммирование производится по упорядоченным наборам (ці,..., ц?), (vi,...,vp); sgn( )=0, если нижняя строка в скоб-кё не является перестановкой верхней строки; sgn(*) = l, если перестановка четна; sgn( )=—1, если перестановка нечетна.
В градуированной алгебре Q(Xn) определен оператор Ходжа * перехода к сопряженной форме
* (tr14' Л ... Л <Л) = sgn 11 • •' П ) OliA . •. Л а1"-*.
V1X1... H^v1 ... vn_q 1
Этот оператор обладает следующими свойствами:
*ae?n~p, oeQp; 1
**о = (J)P(T1-P)cfj oeQp; аД#а'=а'А#а, а, о'єQp.
- S
118- В алгебре Q(X) определена операция внешнего дифференцирования
d: QP-^QP+1 ?
со следующими свойствами:
dd^s О,
d(af\a') =daAa'+ (—l)paAafa', ae Qp.
Форма о называется замкнутой, .если da = 0, и точной, если существует форма а', что ar = da'.
Форма dx^1 Д ... Л dx^p определяет меру на подмногообразии Y многообразия Xn с локальными координатами
XilPn = . . . = хп" = О,
и, если Ж ориентируемо и компактно, существует интеграл р-формьі по подмногообразию Y. При этом справедлива формула Стокеа
J CT = Jdcr,
BY Y
где dY обозначает границу Y в X.
Определяется также внешние дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении л. Они описываются как сечения расслоения 0-формами считаются сечения са-
мого расслоения Я.
В частности, определим яга многообразии X каноническую 1-форму 9 со значениями в касательном расслоении T(X), задавая ее в голономном атласе как 0 = d^dx^. Она соответствует тождественному отображению касательных пространств Tx в себя в каждой точке хєі.
Касательное пространство. Пусть X — я-мерное многообразие, и Л' — точка в X. Рассмотрим пары (с, и), где c=(U, %) — карта на X, накрывающая х, и v¦—элемент Rn. Две такие пары (с, v) и (c', v') называются эквивалентными, если матрица Якоб и <5(/х~') отображения (yfyr1) в точке %(х) преобразует V в v'. Получаем, таким образом, отношение эквивалентности между парами (с, v). Класс эквивалентных пар (с, V) называется касательным вектором к X в точке х. Множество касательных векторов к X в точке х образует касательное пространство Tx, которое наделено структурой пространства Rn посредством отображения 6С из Rn в Tx, ставящего в соответствие вектору V^Rn касательный вектор, представляемый парой (с, v).
Морфизмы многообразий индуцируют морфизмы касательных пространств к ним. Пусть f:X->X', и х — точка в X. Рассмотрим карту с= (U, %) «а X, такую, что x^U, и карту C = = W, %') на X', такую, что f (U) = U'. Отображение х/х-1 является дифференцируемым, и его дифференциал d(x f%~~1) в точке %(х) определяет непрерывное линейное отображение
119- e„»d(X'/X-,)0r,«3 Tx(X) в Tm(X'). Оно не зависит от выбора карт, обозначается T(f) и называется касательным отображением к f. В частности, ~ T1(X).
