- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Расслоение. Расслоением называется тройка X = (Q, к, X) топологических пространств Q, X и непрерывной проекции я: Q-*-X. Пространство Q называется тотальным (расслоенным) пространством tlX расслоения X, а X — его базой bs /., которая будет предполагаться связной. Подпространство Vx= = п~1(х) тотального пространства называется слоем расслоения над точкой х^Х.
Морфизм расслоения X= (Q, я, X) в расслоение X'= (Q', я/, X') задается парой непрерывных отображений F: Q^Q', /: \Х-^Х' таких, что F : Vx ->• V'fM > т. е. F является послойным отображением. Отображение (F, /) называется изоморфизмом расслоений, если Fu f гомеоморфизмы, и эквивалентностью, если f=ldX.
Сечением ф расслоения X= (Q, п, X) над открытым множеством UciX называется непрерывное вложение UbQ, такое, что rop = Id U — тождественное преобразование U, т. е. всякая точка x^U отображается в некоторую точку q>(x)<=Vx слоя над X. Сечение, заданное над всей базой X, называется глобальным.
Расслоение X= (Q, я, X) считается тривиальным, если существует топологическое пространство V такое, что Q гомео-морфно прямому произведению XxV.
Расслоение X= (Q, п, X) называется локально тривиальным, если существуют такое открытое покрытие {Ui} базы X и такое пространство V, что для всякого Ui найдется гомеоморфизм г|)?: я-1 (Ui)-^-Vx Ui и Pix=^1- ty*-1 есть гомеоморфизм V на себя для всех xeU;f)Ux. Иными словами, существует такое открытое покрытие базы X, что сужение расслоения X на всякое множество Ui из этого покрытия оказывается тривиальным1 расслоением у;(я-1 (Ui), я, Ui), а расслоение X в целом оказывается как бы склеенным из тривиальных расслоений Xi посредством функций перехода'р; X.
Всякий слой VxmX локально тривиального расслоения го-меоморфен V, называемому типичным слоем расслоения X.
Пара (Ui, %) о'бласти U1 и морфизма г|н тривиализации расслоения X называется картой расслоения, а совокупность карт Wy.-{Ці, —атласом расслоения X с функциями перехода Pix, КОТОрЫе уДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЯМ ргг =Id V,' PixPxs = = Pu-
- Локально тривиальное расслоение однозначно определяется набором (V, X, W). При этом (V, X, W) и (V, X, W) определяют эквивалентные расслоения, если атласы 4F и 4F' эквивалентны, т. е. их объединение тоже является атласом (что означает существование функций перехода между картами из атласов 1P и 1F').
120- ЛокалБно тривиальное расслоение над'стягиваемой базой тривиально.
Этр позволяет атласы всех расслоений над одной и той же базой X задавать, на одном и том же покрытии {t/;}, являющимся покрытием атласа 1Fx топологического многообразия X.
Локально тривиальное расслоение всегда обладает сечением. Всякое сечение ф локально тривиального расслоения X может быть представлено семейством У-значных функций {фгМ =г|п (лОф(я) , X^Ui) в атласе расслоения Y = {?/,-, г|п) и ф г (х) - Pix (X) фи (х), x^Ui Г]?/„.
Пусть X —^локально тривиальное расслоение, и G — топологическая группа., которая действует эффективно слева в про: странстве типичного слоя V расслоения X.
Пусть существует атлас Y расслоения X, функции перехода которого рix(x), x^Ui fit/*, являются элементами группы G(Uif)Ux) непрерывных отображений Ut []UK в G. Тогда группа G называется структурной группой расслоения X.
Говорят, что структурная группа G расслоения X редуцирована к своей подгруппе Я, если существует атлас V расслоения X, функции перехода которого принимают значения в подгруппе Я.
Структурная группа Ли G расслоения X редуцируема к замкнутой подгруппе Я тогда и только тогда, когда ассоциированное с X расслоение на фактор-пространства G H допускает глобальное сечение.
Структурная группа Ли всегда редуцирована к своей максимальной компактной подгруппе.
В книге все расслоения считаются локально тривиальными расслоениями со структурной группой Ли.
Расслоение ассоциированное. Расслоения X и X' с одними и теми же структурной группой G и базой X называются ассоциированными, если существуют атлас "1F расслоения X и атлас V расслоения X' с одним и тем же набором функций перехода {fnx^.G(Ui nt/x)}. Ассоциированные расслоения с одинаковыми типичными слоями эквивалентны.
Для всякого расслоения Я= (У, G, X, Ч*1) может быть построено ассоциированное с ним главное расслоение Xg-
Расслоение X с типичным слоем У, ассоциированное с главным расслоением Xg, можно задать, определив его тотальное пространство tlx как фактор-пространство (МЯсХУ)/С с действием G^g: (р, v)-*(pg, g'lv). '
Для каждых рgrtlXq и уєУ обозначим через [р] (у) образ элемента (р, v) в tlL Тогда \р], petlXc, есть отображение из У на -Уж=„(р) и [ря] (v) = [р] (gv) для рєtUG, и є Vi g<=G. В частности, если Y — атлас расслоения Xg, и {zi (л;)} — семейство сечений Xg, отвечающих "*Р, то отображения [z<. (х)} : : V-^Vx, x^Ui, определяют атлас на X, эквивалентный V.
Существует взаимно однозначное соответствие между мно-
121- жеством сечений ф ассоциированного расслоения X с типичным слоем V и множеством V-значных функций / на tl таких, что f(pg) = g-i/(p). Оно задается ф(л(р)) = [р] (f(p)).
