- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Расслоение векторное. Расслоение, типичным слоем которого является топологическое векторное пространство V, называется векторным расслоением. Его структурная группа — группа GL(V) общих линейных преобразований пространства V.
Векторное расслоение всегда имеет глобальное сечение.
Пусть 4F = If/;, } — атлас векторного расслоения, и {t} — базис его типичного слоя V. Определим в каждом слое Vx, х<=Х, базис {^(х)} = {^r1 (х) /}, отвечающий карте (Uit % ) атласа 4F. Тогда всякое преобразование g типичного слоя V и индуцируемое им преобразование gx = ^r-'g^i слоя Vx над точкой х^Х будут иметь один и тот же матричный вид относительно базисов {/} и {г};;-1/}. Если gi(x) — функции перехода к новому атласу "vF' = {Ui, \\n'=gityi }, этот переход также можно представить как преобразование базисов
+№)}={ (?^-400.
Укажем следующие операции над векторными расслоениями над одной и той же базой X: дуальное к X расслоение X* с типичным слоем V*; сумма Уитни ?.©>/ расслоений X и // с типичным слоем УфУ; тензорное произведение Х0>/ расслоений X и X' с типичным слоем
Расслоение главное. Расслоение Xg со структурной группой G, типичным слоем которого является сама топологическая группа Gy действующая на себя левыми сдвигами Lg: G-^gG, g'i=G, называется главным.
На тотальном пространстве tl V, главного расслоения может быть задано действие группы G правыми сдвигами
Rg : 11X0 э P Tpl (?"'1 (P) g) = Pg ¦
Оно является послойным, его вид не зависит от карты (поскольку функции перехода действуют слева), и оно является транзитивным, Т. е. если pg = p для некоторого рGrtl }.q , to g = = 1 а — единичный элемент. База главного расслоения представляет собой фактор-пространство tlWG орбит группы G в tl Xn, а проекциям — каноническое отображение tl Io-^tl XcJG. Морфизмы тривиализации главного расслоения удовлетворяют условию tyi(pg) =грі (p)g, и всякому атласу W = {Ui, % } главного расслоения можно сопоставить набор сечений {Ui, Zi = = ^j-1Og) =P(jVl)I(P))-1, Zi=ZxPxi), отвечающих T и однозначно определяющих этот атлас.
Глобальное сечение главного расслоения существует тогда и только тогда, когда расслоение тривиально. ,
Правое действие G в tl Ag порождает фундаментальные поля ті на tl Xq, которые, поскольку деЛтвие G отобряжает
122- каждый слой в себя, касаются слоя в каждой точке. Так как G действует транзитивно на tlA,G) ті никогда не есть нуль и отображение /-»-ті (р) из алгебры Ли @ в Tp есть линейный изоморфизм @ на касательное пространство в petl Xg к слою через р. Если ті — фундаментальное векторное поле, соответствующее то "для ^каждого ^eG касательное' отображение T(Rg) преобразует п в фундаментальное векторное поле, соответствующее элементу Ad(g~l)I, где Ad (g^1) обозначает присоединенное представление G в
Расслоение дифференцируемое. Расслоение называется дифференцируемым, если топологические пространства, входящие в конструкцию расслоения, являются конечномерными дифференцируемыми многообразиями, их морфизмы — дифференцируемыми отображениями, а структурная группа расслоения— группой Ли. Класс дифференцируемости мы каждый раз не конкретизируем, полагая его достаточным. Как правило, он может быть доведен до C00.
Расслоение касательное. Касательным расслоением T(X) над многообразием X называется расслоение, слоями которого являются касательные пространства Tx, хеХ T(X) определяется как векторное дифференцируемое расслоение над А' с типичным слоем и структурной группой GL(n = aimX,
R), атласы которого эквивалентны голономному атласу "vF = = {ui, ^1-=Г(хі)}> гДе x?x = {Ui, x;} — некоторый атлас многообразия X.
•Фиксируем базис типичного слоя Rdim х касательного расслоения. Тогда векторы ta(x) (х) ta образуют базисы
касательных пространств Tx(X), jcel, отвечающих данному атласу "vF. Если "vF — голономный атлас, то векторы t„(x) каса-тельны к координатным линиям в точке .ЇЄІ и
tv(x) =<?ц.
Морфизмом касательного расслоения T(X) в касательное расслоение T(X') является пара морфизмов f: Х-*-Х' и F = = T(f) : Tx(X)-^Tffx)(X'). Если /—диффеоморфизм X на себя, то отображение (/, T(f)) касательного расслоения T(X)—изоморфизм.
Расслоение кокасательное. Кокасательным расслоением Т*(Х) над многообразием X называется дуальное расслоение к касательному расслоению T(X). В голономном атласе расслоения Т*(Х) базисами кокасательных пространств Tx* являются {dx*} — дуальные к базисам {є)11} касательных пространств.
Расслоение реперов. Базис {t(x)} ' касательного пространства Tx называется репером. Ассоциированное с T(X) расслоение LX, слоем которого в точке х^Х является множество реперов {t(x)} в пространстве Tx, называется расслоением линейных реперов. Типичным слоем VLx этого расслоения является множество реперов {t} в пространстве Rn. Структурная группа GL(ti, R) действует в пространстве типичного слоя транзитив-
123- но и свободно. Действительно, для всяких двух реперов {t} и {Ґ} существует элемент g Группы GL (я, R), что {t'} = {gt}. Фиксируем репер (0 и каждому реперу * LX сопоставим элемент g такой, что {t'} = {gt}. Это определяет гомеоморфизм Vlx на GL(n, R), а расслоение LX как главное расслоение.
