- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В другой момент времени t=?to гамильтониан уже не будет диагонален в терминах операторов а<_) и а<+). Однако его можно диагонализовать с помощью преобразования Боголюбова
а|+> =, aVl(k+> + ?Vfci»,
(15,6)
air' - «ЛІГ» -+ И-k
93- в терминах операторов и Л'+'. Преобразования Боголюбова (15.6) сохраняют 'коммутационные и антикоммутационные соотношения, и операторы Л<~> и могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения некоторых квазичастиц с новым вакуумом |0'>, Л(->|0'>=0, который, вообще говоря, не эквивалентен вакууму |0>. Условие диагонализа-ции гамильтониана определяет зависимость коэффициентов преобразования (15.6) от координат, которые в момент t = tQ полагаются
а=1, ? = 0.
Такой подход позволяет вычислять число частиц, тензор энергии-импульса, их зависимость от времени в терминах однажды заданного фоковского пространства. Например, число частиц, рожденных в каждой моде за время, прошедшее с момента t0, определяется как среднее от оператора числа квазичастиц п(к, t) — Лк^Лк"' по начальному вакууму |0>. В результате получим
л(k, 0 = l?(k. t)\2- (15.7)
Аналогичным образом вычисляется тензор энергии-импульса рожденных частиц.
Отметим, что вышеизложенная схема особенно удобна для исследования космологических моделей, так как она не требует, чтобы пространство было асимптотически плоским. В этой схеме корпускулярная интерпретация проводится в терминах квазичастиц, т. е. частиц, для которых гамильтониан приобретает диагональную форму в данный момент времени. Отметим, что в любой момент времени можно указать такой набор операторов поля, который будет соответствовать свободным квазичастицам, и только пересчет к начальному состоянию позволяет установить факт рождения новых частиц. Преимущество излагаемого метода, по сравнению с другими, например S-матричным, заключается в возможности выбрать начальное состояние безотносительно к асимптотике пространства-времени. В асимптотически плоском пространстве-времени результаты, полученные методом диагонализации мгновенного гамильтониана, совпадают с результатами полученными в рамках адиабатической регуляризации Паркера [229] и с помощью вычислительной процедуры Зельдовича—Старобинско-го [228].
§ 16. РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ПОЛЕМ КРУЧЕНИЯ
Исследуем проблему рождения безмассовых частиц геометрическим полем кручения. Хорошо известен факт, что в лсев-доримановых пространствах с конформно-плоской метрикой безмассовые частицы не рождаются [60]. Это относится к фо-
94- тонам, нейтрино и скалярному полю с конформной связью. Иная ситуация складывается при наличии "поля кручения.
Пусть лагранжиан безмассового скалярного поля выбран в виде - . "
L = {-g)m + ~ R(g, Q)Ф2|, (16.1)
где R(g, Q) определяется (11.7).
Уравнения поля, получаемые варьированием (16.1) по полю Ф, имеют вид ' '
+ 2Кха>:а + кх1Лкпоа - Кх>іоКаиі} ф = о. (16.2)
Для упрощения мы не будем рассматривать кручение, представленное -своим следом, источники которого к тому же не достаточно хорошо изучены. Тогда К\а = ZCtV = O. Метрический тензор энергии-импульса скалярного поля будет
Tvv - Tnvw' + — IKVXoK°\' + КачоК0% +
+ Wvd - Y gVvKaXvKm} ф2, (16.3)
где
ті V - - ^«ф^Ф + +
+ 4" ^ te) + ^lv D - VixVv) Ф2 (16.4)
о
и V11=«э,-и, ? =^VllVv.
Теперь перейдем к квантованию скалярного поля, описываемого уравнением (16.2), во внешнем гравитационном поле однородной конформно-плоской модели Вселенной с кручением. Метрика такой модели задается в виде
ds2 = R2{n) (dy]2—dx2—dy2—dz2), (16.5)
где Г] связано с физическим временем соотношением dt = = І?(Г])ЙТ). Если источниками поля кручения являются фер-мионы либо идеальная спиновая жидкость (см. § 13), то свертка тензора конторсии в обоих случаях будет зависеть только от времени.
Напомним, что для спиновой.жидкости
Oinv=SnGuxSllV
и соответственно
Orfliv= (8nG(-|r)-,/2) W(^l)- (16.6)
где S2 — квадрат спина единичного элемента жидкости [235]. .
95- Кручение, индуцированное спинориыми полями, было получено в работе [251] (.более подробно мы обсудим этот вопрос В §17),
Q^v=ew3a, <За = {0, OfO, (—g)_l/2s},
s'=\SnGNp, Np—плотность спинорной материи'.
В силу выделенной зависимости от времени оператор вторично квантованного поля бозоінов представим в виде разложения в ряд Фурье
Ф(*.0 = {2л)3)i R {у]) J d'k (rI)flW (k. Л)ехр(ікх) + + и- (л) а<-> (к, т]) exp (— ікх)},
где функции Uh(il) с учетом (16.5) удовлетворяют уравнению d^u Пії
Jt;" + [^+ S3Tr4(H)] МП) Ц0- (16.7)
Уравнение (16.7) с переменной массой сок (л) существенно зависит от выбора функции кручения. Пусть кручение задано как в работе [252], Q2(rj) =—s2olR6{r\). Тогда мы получим уравнение второго порядка для «к(л), в котором
о> к (Л)=*2+ So2AR4(Ti).
Таким образом, возможны два случая: а) при |к|2<502Я ~4(п) уравнение (16.7) превращается в уравнение для затухающей волны и рождения частиц не будет; б) при |k|2>s02i?^4(T)) в каждой моде в данный* момент времени будут рождаться частицы лишь определенной энергии (массы), а именно: т— -S0R-2(л). Отсюда видно, что частицы с наибольшей массой рождаются на ранних стадиях развития Вселенной, с меньшей — на более поздних.
