- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Pa осмотри м постоянное решение уравнения (18.6), которое при этом сводится к уравнению
ml Ql = - (2л)-4 gl tr f а dik а . (18.7)
J kai — SoSilyT'Ys
Интеграл в правой части (18.7) может быть вычислен с помощью размерной техники.
Оказывается, что единственным решением уравнения (18.7) является <5й° = 0 и этот результат распространяется и на случай неминковской внешней метрики.
Таким образом, квантовое рассмотрение взаимодействия кручения с фермионами приводит к тому, что коллективное поле кручения представляет собой чисто квантовые флуктуации над нулевым фоном.
Построим эффективный лагранжиан такого поля кручения, для чего найдем все однопетлевьге вклады в действие
„ „2__
** гпп —
Seff = і d*x [- і tr In {іу*д№ - g0y»y6 + -г- <7м t (18.8)
и получим В первом порядке ПО константе gl
Seff=Jd4^
--L- (dnqv — dv?tt)2— q^qv-4 2
(18.9)
Лагранжиан (18.9) отличается от эффективного лагранжиана (17.4), являющегося следствием поляризации вакуума материальных полей в t/4, наличием массового члена.
105- Пропагатор коллективного ноля ,кручения имеет' вид
1W
Anv [k) = т
и содержит член порядка go2, отсутствующий в пропагаторе фермионного поля. Это. является следствием того, что в затравочном лагранжиане нет кинетических членов кручения и связь, «спин—кручение» — алгебраическая.
Наличие только нулевого постоянного решения уравнения (18.6) представляется физически вполне оправданным, поскольку отличное от нуля постоянное классическое поле кручения означало бы существование выделенного направления в пространстве-времени. Вместе с. тем в теории возможны ненулевые решения уравнения (18.6) типа уединенной волны. Мы их не будем здесь приводить.
Значительно более важным представляется тот факт, что, хотя среднее поле кручения равно нулю, среднее квадрата поля кручения может быть отлично от нуля. Именно
член (Qi1Oia) входит в скаляр кривизны гравитационного поля и дает главный вклад в уравнение Эйнштейна
^v- Y g»vR = m\4nG ((—g)1/2 W1), (18.10)
получаемое из эффективного действия (18.5) в пределе нулевого классического фона и в пренебрежении членами порядка " G2 от поляризации вакуума спинорных полей. Учет этого вклада позволяет оценить влияние непертурбативных эффектов на эволюцию гравитирующих объектов в теории гравитации с кручением.
Из вида эффективного лагранжиана (18.5) можно лишь предположить, что среднее квадрата поля кручения отлично от нуля, однако дать его точное ренормированное значение удобнее, перейдя к другой эквивалентной системе взаимодействующих полей. Такая возможность появляется вследствие того, что четырехфермионное аксиально-векторное взаимодействие с помощью преобразований Паули—Фирца разлагается на сумму трех типов четырехфермионных взаимодействий, которые, с учетом антиперестановочности полей if> имеют вид
(fy^)2 = 2[(-W + feilO2] + (W)
Исходя из этого разложения, линеаризуем исходное четырехфермионное взаимодействие посредством введения интегрирования по трем вспомогательным полям ст, л и со„:
JD^exp\i^Y[2 ! 2№W+ (1I5Yi-t1I') ^ j* DtyDtyDoDnDiup. ехр jt JVxg0
CiiX =
1(31)30 + 1|з/у51)зл + — і|зум,і|ХйМ
106- В низшем древесном приближении можно положить
<<&<3В> = <2 (о2+я3) + ИдО»). (18.11)
Представим поля а, л, «»„ в виде, аналогичном (18.4):
О=О0+<Ґ, <*о = <СТ>, я = Ло+л', До = (я),
COn = COll0 +О)/, fo^°=<©„>,
где сто, яо и сом° — средние поля, уравнения для нахождения которых имеют вид, подобный (18.7):
ml = I-gVtrf 2 d>k-, (18.12а)
«».-t-grtrj %_,»'»¦ • (І8Л2б) да AS = й Ki+»Э. п„«.Люї/К2*.
Решением уравнения (18.126), как и (18.7), является Co1X0 = O. В то же время из (18.12а) после вычисления интеграла с помощью размерной техники получим уравнение для
---^l-f—S--—«ч-О.
g\ 43т2 V га—4 Ц.2 J
которое имеет ненулевое решение. Подставив это решение в выражение (18.11), найдем
(QmQm) = 2Ао + радиационные поправки,
т. е. среднее квадрата поля кручения отлично от нуля.
Ограничиваясь членом 2Д02, подставим полученное значение (QnQ1*) в уравнение Эйнштейна (18.10). Его решение будет описывать пространство де Ситтера с постоянной" положительной кривизной R = 2ntn02Ao2G, которая определяется средним значением квадрата поля кручения. Это говорит о том, что при низких энергиях теория гравитации с кручением вблизи точки минимума энергии системы эквивалентна эйнштейновской теории гравитации с космологическим членом, который есть следствие спин-спинового гравитационного взаимодействия. В области высоких энергий начинают появляться волны кручения, и эффективной геометрией будет геометрия Римана—Картана.
В заключение отметим, что, описывая кручение как коллективное поле; необходимо выяснить, к какому из двух типов коллективных квазичастиц — плазмонам или куперовским па-
107- рам — принадлежат кванты поля кручения — тордионы. Хотя проследить явно динамику образования связанных состояний не удается, а именно построение такой динамики и было бы ответом на поставленный вопрос, можно косвенными методами установить по наличию фазового перехода второго рода в нашей модели, что коллективное поле кручение будет образовывать конденсат типа конденсата куперовских пар. Это позволяет надеяться, что в теории взаимодействия кручения с фер-мионами можно ожидать появления вихрей кручения, явления типа сверхпроводимости и аналога эффекта Мейснера, что уже качественно обсуждалось в работах [24, 238]. Глава VI
