- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
і ~(х, S\х',0)= (^mvVmVv + GotpQ^ + X) {х, s\x',0), (17.9) решение которого удобно искать в виде
{x, SI х', 0) = — і (4ms)-2 D (х., X ) [— im2s —
OO
—іа (X, x')/2s] X j an(x, x') (is)n, (17.10)
n=0
где
г г
D (x, x) = — det [— VnVv<* {x, *')] детерминант Ваін-Флека—Моретта, a(x, x') — мировая функция Синга. После подстановки (17.10) в (17.9) получим следующие выражения для коэффициентов разложения
o„ = Ь
<h = —Я + у QaQa + ^VaQa.
- ^ GiivG^v. г (17.11)
Окончательное выражение для эффективного лагранжиана . Lett = tr [I0Ci0+I1Ctl+/2 (a2 + 1^ai2) ],
где
OO
Ij= (32 л2)-1 J dt //-3 ехр (— m20
о
расходящиеся интегралы, t = —/s.
Эти расходимости можно устранить включением в затравочный лагранжиан теории слаТаемых вида (17.11) и перенормировкой соответствующих констант, что, с другой стороны, накладывает искомое ограничение на выбор лагранжиана гравитационного поля с кручением.
102- § 18. КРУЧЕНИЕ КАК КОЛЛЕКТИВНОЕ ПОЛЕ
В рамках классической теории Эйнштейна—Картана в § 12 мы привели теорему, устанавливающую соответствие между ТЭК и нелинейной спинорной теорией в псевдоримановых пространствах. Согласно этой теореме геометрическое поле — кручение— представляется парой спинорных материальных полей (уравнение Палатини (12.37)) и может быть исключено из рассмотрения переходом к -лагранжиану, включающему нелинейное четырехфермионное взаимодействие. Это указывает на» возможную материальную природу кручения пространства-времени как коллективного поля.
Исследуем этот вопрос на квантовом уровне.
Рассмотрим систему, описываемую лагранжианом
L0 = - (16яО)-і R(g)]+ -L (ty W W) + -у 6hvM>)2-
(18.1)
Производящий функционал связных функций Грина будет
Z(r\, ц, t^) =NJDg^DtyDty exp{iJd4x(—gY'2(Lu + ^ty+ty4 +
Линеаризуем четырехфермионное взаимодействие с помощью дополнительного интегрирования по псевдовекторному полю (J11:
I
DtyDtyexp \ і d*x(-gyt2 ^-'(tyyuy.ty)2
2
=jDtyDtyDQ» exp [і j'd*x {-gyt2 {g&^fty--y- QllQ^j,
где X0 = gym2. Такая линеаризация (сопровождающаяся переопределением нормировочной константы N-^N') является удобным способом развить приближенную схему хартри-фо-ковского тиЪа для квантования ч^тырехфермионного взаимодействия. Поле (? называется коллективным полем.
В результате линеаризации производящий" функционал, в котором введены источники поля (?, будет уже описывать связные функции Грина взаимодействующих гравитационного, фермионного и коллективного полей
Zin, T1, /,.) = N'JDglivDtyDtyDQ exp{ijd4x(—g)1/2 [Li +
+ (18.2)
ГДЄ Lk, La — лагранжианы калибровочных и духовых полей. Лагранжиан
L1 = - (16лG)"1 R(g) +-L - Vn W4>) +
103-
(18.3)
отличается от лагранжиана ТЭК константами go и т0, не совпадающими с гравитационной.
Выбор іконстаїнтьі взаимодействия фермионного поля с кручением, равной ,ньютоновской гравитационной, является дополнительным ограничением, для которого нет априорных оснований, поскольку последовательная 'калибровочная трактовка гравитационного поля как аффинно-метрического позволяет ввести в теорию два независимых заряда — ньютоновскую постоянную тяготения G и неизвестную пока константу взаимодействия «спин—кручение» go-
Следующее из лагранжиана (18.3) уравнение
Щ
является квантовым аналогом уравнения Палатини (см. § 12) •и выражает основную идею о спине как источнике поля кручения. В этом уравнении необходимо разделить классическое кручение и квантовые флуктуации, представляющие собой базисные состояния, возникающие в теории с четырехфермион-ным взаимодействием, и учесть для классического кручения эффект поляризации вакуума материальных полей.
Представим коллективное поле Q,, в виде
Qv = Qv+(18.4)
где QtP — классическое поле кручения, (/„ — квантовые флуктуации.
Величину Q1P можно получить методом среднего поля, в основе которого лежит идея о квантовании взаимодействующих полей на фоне некоторого решения самосогласованных уравнений, описывающих среднее состояние коллективного поля (в нашем случае (?) и одновременно поляризацию вакуума [71]. Учет влияния такого среднего поля на эволюцию системы полей является непертурбативным эффектом теории самодействующих полей. Таким методом в квантовой теории поля был рассмотрен целый ряд моделей [69, 74—80].
Уравнение для среднего поля Q1P получается из условия минимизации эффективного потенциала' поля кручения, учитывающего поляризацию вакуума материальных полей. Он находится интегрированием функционала (18.2) по фермионным полям. Результатом такого интегрирования будет
• ехр[iW(Tl,gm, Q)} = jDgvvDQvехр {g),/2 X -X {- (ItaG)-I R (g) __ ^Gn - і (-g)-V2 tr In ((-?)"2 (ty»vv'~
104- - YnY1QuSo)) - (-у-) + /» «* + Wtlv } j. (18.5)
Откуда
V^eff (Qtl, gnv) = U*x(-gy>'2 J_ (i6jlG)-i R(?)__i(_g)~m x
\ v 2
X tr In ((- g)W - SoYmY5Q11));- QmQm
и уравнение для среднего поля Q° имеет вид
тЖ = - і tr I d4xG (X, X) 6G-1 /6? ,
G"1 (* - у) = (IYiaVm - SoY1VQm) б4 (х - г/).
(18.6)
При этом, поскольку нас пока не интересует квантование метрического поля и для того чтобы выделить собственно эффекты кручения, положим =Tiiw-
