- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор кручения можно разбить на сумму трех частей---следовую, бесследовую и псевдослед (см. (11.3)):
OV=(PQ)V, Qv= [PQ)V, Qa=(PQ)a,
где Р, P и P — спиновые проекционные операторы следующего вида:
Рае?'*"' = 4" {2 Wl??'IIU' — nia>T)a?'4uV— Лра'Ър'Ли' — b
— OWlSP' — iwix?') Vv — (?' — *-')}. ^?P' = T {(M??' - W«') Vv - («> ?')}'
= 4" + %«'%V%?< + — (««-» ?)}.
b
Тетрадное поле можно также представить в виде следа и беССлеДовой части
flab = (рк)аЬ + Х\йь(рЬ),
где
Vab' = (Па'Ь — Wkft). Pab ~ Kb-
Рассмотрим спектр частиц, описывающих различные со-114 " ставляюіцие поля кручения, для чего введем проекционные операторы следующего вида (в импульсном пространстве):
Орлі = OjiV5ss kpkv/ffi)
где Omv соответствует частице спина 1+ либо I-, Wliv — частице спина 0+ либо О-. В P заменим на (б^+ю^) и т]аа> на (6аа> + + й>аа')- Тогда нетрудно проверить, что
P = P(I) +P(O+)
является оператором выделения из следовой части состояний спина единица и ноль. Это подтверждается выполнением условия
-f- (Р (1 ¦¦) + P (0+))?'V (б-Qv - 6« Qg,) = ±(б-'Qx - 6*'Q?).
Псевдовекторная часть кручения также содержит два сорта частиц — спина 1+ и О-. Соответствующими проекционными операторами будут
P (I+)X' = T + Wfc' +W - («' ~ Р'»'
Проверить то, что псевдовекторная часть описывает частицы именно такого сорта, можно прямым вычислением
[Р (0-)?' + P (1+)?"'.'] ea'>'Vv' Qy' = ea|Uv Qv.
Наконец бесследовая часть кручения содержит частицы спина 2+, 2~, 1+ Соответствующими проекционными операторами будут
Wv (2-) =:6-.01-?, -Leefjl^f
PaJk' (2+) = -L + в»,(Ogf 0?, + 0« 63,+
W'V (1+) = Y {(09®W?' + (вшв)^а'Р' - (вЄш)аЧ'Р' -
— (0©0)?'«'V + 2(CU00)va'?'}, av (i") = (o0® + oa>e)v„'p' + -у ova'^eg,+ -у
Тетрадное поле описывает частицы спины 2+, 1+, 1", 0+, О-
Кь = {Р(2+) + р(1+) + PL(1") + P(O+) + P(0-))1"'K'b"
где р( ) построены из проекционных операторов, как обычно, заменой Tiact' на (Oaa' + Coaa-) и -г\аь на (8аь+соаь).
8* U5 Ma вышеизложенном анализе не заканчивается решение задачи о спектре частиц, возникающих в теории. Следующим« этапом является исследование конкретных лагранжианов с целью построения таких, которые были бы свободны, от тахионов, а также выявления всех частиц, являющихся'переносчиками гравитационного взаимодействия в теории гравитации с кручением. В зависимости от того, будут частицы — переносчики взаимодействия — массивными или безмассовыми, взаимодействие соответственно- будет дальнодействующим, либо короткодействующим. С другой стороны, существует надежда на то, что из подобных соображений и известных эмпирических оценок, возможно, удастся определить область, в которой гравитационные силы начинают играть роль в микромире.
Изучение спектров частиц в квадратичных теориях изложенным методом было проведено в ряде работ [266—270]. Были получены ограничения на константы допустимых лагранжианов из условия отсутствия нефизических полюсов в пропа-гаторах частиц. В частности, оказалось, что рассмотренная нами модель с лагранжианом (VI.4), приводящая к несингу^/ лярным решениям и удовлетворяющая принципу соответствий с ОТО в пределе малой. плотности вещества, неудовлетворительна с квантовой точки зрения, так как содержит нефизический полюс в пропагаторе [269].
К числу перспективных в смысле квантования были отнесены пять моделей [269], которые получаются из (VI.3) специальным выбором констант и не содержат нефизических полюсов в пропагаторе. Однако это еще не гарантирует, что они будут ренормируемыми теориями. Исследование ультрафиолетовой сходимости таких моделей остается важной, но пока не решенной задачей.
Проблематичным в калибровочной теории гравитации является вопрос и о том, какие динамические переменные следует квантовать. Если не накладывать условие метричности, то такими переменными будут метрика и связность, если разрешить условие метричности заранее, то—метрика й кручение. Возможно, что в силу трактовки метрического поля как хиггс-голдстоуновского (см. § 7) гравитационное поле ОТО вообще не следует квантовать, а рассматривать как классический (конденсатный?) фон.
146- ГЛОССАРИЙ
Рекомендуемая литература [95, 98, 271, 105, 90].
В книге все топологические пространства считаются пара-компактными топологическими многообразиями.
.. Векторные поля. Векторное поле т на многообразии X определяется как глобальное сечение касательного расслоения T(X) над X. Векторное поле называется неособым, если оно нигде не обращается в 0.
Неособое векторное поле т = т^tll на'Х где t? — касательные векторы к координатным линиям х^ в X, определяет однопа-раметрическую группу Ли Gt отображений g(s) : x-yx(s, х), где x(s, х) —решение системы дифференциальных уравнений
CtXaIds = X11(X).
с начальным условием х(0, х) =х. Отображение g(s) является диффеоморфизмом многообразия X, a T(g(s))—касательное отображение к g(s)—изоморфизмом касательного и ассоциированных с ним тензорных расслоений. Представление генератора дх группы Gr на сечениях этих расслоений имеет вид
