- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
На функцию и к (л) наложим следующие условия в некоторый момент времени Л = Ло
йк(ло) ~і(сок(ло)/2)1/2, Ик(ло)==(2юк(л0))-,/2, (16.8)
которые приводят к диагональности гамильтониана в этот момент времени.
Используя соотношения (16.3), (16,7), (16.8), запишем выражение для гамильтониана в терминах операторов рождения и уничтожения скалярного поля
Я (л) = JAok (л) {[<*<+> (к, ч)аН(к, л) +
+ а<->(к, л)?(+)(к, rj)]?(k; л)+а(+)(Ь, л)а<+>(-к, tj)F(k, л) +
+ а<->(к, л)а(-Ч-к, л)^*(-к, л)>, (16.9)
где
E (к, л) = [2©к (Л)Г' [ I ик I2 + <о?I ик I2], F(k, Л) - [гмл)]"1 [ Iiik I8-.«к I «к I8].
96- Гамильтониан (16.9) недиагонален в произвольный момент времени по операторам рождения и уничтожения,' что должно привести к рождению частиц из вакуума (см. § 15). ,
Предположим, ЧТО В момент времени Г) = Г)0 скалярное поле находилось в вакуумном состоянии, тогда иk (rjo) я Ик (г]о) определяются, формулами (16.8) и недиагональные члены в гамильтониане в этот момент времени отсутствуют, поскольку
F (Ло) - F' (T)0) = 0, Ek (Il0) = 1, Wk (Ti0) -= k" + S20R-4 (?).
Мы не можем в качестве начального момента времени выбрать точку Tj0 = O, так как, во-первых, она — сингулярная точка пространства Фридмана (конформно-плоского), во-вторых, она — сингулярная точка уравнения (16.8) (для физически интересных случаев jR(t))~t)p, где 0<р<1). Поэтому будем выбирать Г)о сколь угодно близко к нулю, но не в самом ,нуле.
Преобразуем операторы a<+)(k, rj), а<-)(к, ті) таким образом (см. § 15), чтобы гамильтониан (16.9) стал диагональным в новых операторах Л(+)(к), Л<~>(к). Положим
а<+>(к, ті) =а*(к, л)А«+>(к) + ?*(к, ті)А<->(-к),
(16.10)
а« (к, rj)= а (к, ri)A<~>(k) + ?(k, л)Д(+>(-к).
Подставив (16.10) в гамильтониан (16.9) и потребовав равенство нулю коэффициентов при недиагональных членах, будем иметь следующие соотношения:
?2(k, Tl)-P(к, Tl) = 1/4, ?/a= (?-1/2)//7,
(16.11)
I ? 12= (1/2(0) [ы2 + ю2«2—ю], |а|2=(1/2ю)[«2 + (о2«2 + (о].
После диагонализации гамильтониан (16.9) будет гамильтонианом ансамбля квазичастиц, в каждой моде обладающих энергией
(.H(Ti)=A5Vtf"4 (Л). Тензор энергии-импульса необходимо взять в нормально упорядоченной форме, т. е. вычесть бесконечные части вакуумных средних
wr/(*)=^*)-<nojvio4>.
Эта процедура упорядочивания была предложена в [253] и дает при вычислении конечные выражения для T1?.
Плотность числа частиц, рожденных от момента т]0 до момента г] находится по формуле (15.7)
"W= J pm^ (16Л2)
Энергия и давление родившихся частиц будут
6 = 4зх4 (г|) Jd^mk (Т1) 1 P (к' |8> (16'133)
7 Зак. 496 1
12я*Я* (T))
1
где
jd??2cuk(Ti){|?(k, tDI2 — а = 1,2, (16.136). IMWtoT 1Ш2(0к (п) {1 № р ~дкз+8q}' (16АЗв)
6Q = 3 Q2 (о)к (Л))-1 {(«к (tI))2 - (о)к (г]))-1}.
Уравнение состояния рожденных частиц имеет вид
e = jp1+p2+p3.
Для конкретных численных оценок найдем решение уравнения (16.7) с начальными данными (16.8). Представим его в виде
Ct2Uv (ті)
* l + (1Io) Uk (ті) = {Q2 (?) - Q2 (tI)) Uk (T1).
Такое уравнение можно записать в эквивалентной ему форме интегрального уравнения типа Вольтерра
м± (л) = (2o)k (Ti0))-1 ехр (± гсо0 (л — Tlo)) + + of1 (Tl0) J [Q2 (Ti0) - Q2 (І)] sin шк (T1o) (ті -1) и± (I) dl,
По
которое решается методом итераций при разложении Mki(Ti) в ряд по степеням малости
. (0).. (п)
Uk (л) =-= Ик (tI) + + [Ик (Л) I-
где '
(0)±
U к (Л); = (2о)0)-1 exp {± Iffl0 (Л — Ло)}, Ю0 = Юк (Ло),
(я). Г - ? (1—1)
Wki (л) = — [Q2(Ло) - Q2 (I)] einсо0 (л — D (I) dl
Wo J
¦По
Для оценки пределов применимости разложения и? (л) в ряд учтем, что наше приближенное разложение справедливо в интервале
Л — Ло<<3-1 (ло) • (16.14)
Если л~Лпланк, то при степенной зависимости R (л) ~ЛР> где 0<р<1, (л —Л«)—порядка ядерных времен 10_І0-с; в наше время при той же степенной зависимости (л — Ло) — порядка космологического времени существования Вселенной.
98 Вблизи сингулярности можно предположить степенной закон изменения R (t) =Ooti, где 0<<7<1. Тогда в силу зависимости dt=R^t\)di\ следует, что
я (Tl) = ajrp'V-iK C1 = (1 — <7)«/0-л.
В выражениях для числа частиц, энергии-импульса-мы сохраним только первые два члена ряда, вклад которых в интервале (t] — rjo) будет значительно больше всех остальных членов ряда. Введем обозначения B = a\/s, p = q{ 1—q)~~l. Тогда зависимости плотности числа частиц, энергии и давления от времени будут следующими:
п (Tl) ~ (4яа®53)-1 тг3р Kp — Ц2р)2 (Ч2р + T12P), е (Tl) ~ (32л2а^2)-1 (l" (TI40pO-2JB^2» Т|-<Р (т)^ — т)4р), P1 = Pi = P (ті) ~ (96л?а\ВТХ {(In (т^aT2B-2)) ч~4р (T)S* _ г]4р) -— T1^ar2S-2In(TiZilo)), P8 (п) ~ (96я2Ci6lBT1 C4p {In CnipOT2B-2) (T)04" - Ti4p) + + 2ц*р (a2j32 In ("П/Ло))-1}«
Из выражений для Pх,2,з следует анизотропия давления родившихся частиц, причиной которой является выделенность направления спина. Однако надо подчеркнуть, что на классическом уровне асимметрия пространства не сказывается. Необходим квантовый эффект рождения частиц, чтобы скрытая асимметрия стала явной. В этом смысле его можно трактовать как эффект спонтанного нарушения пространственно-временной симметрии.
