Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
- -®rs lh\a)g*-' + h\a)grk\ = —2®fa). (2.28)
Таким образом, если выбрать в качестве лагранжиана S = A1S1, (2.29)
где
1 Законы сохранения в тетрадной теории гравитации 43
то уравнения поля (2.7), как легко видеть, будут совпадать с уравнениями Эйнштейна (1.6). Далее, при определенном по (2.25) и (2.29), суперпотенциал (2.14) принимает вид [1]
щ.(і! = Ж[у1!._бйф/ + б(ф/г] ^Ды (2.31)
Существенным свойством лагранжиана опреде-
ляемого выражениями (2.25) и (2.29), является то, что он инвариантен относительно тетрадных поворотов (2.3) при постоянных коэффициентах й(а>1Ь\ но не инвариантен относительно полной группы вращений (2.3). То же самое относится и к величинам Ujfei и Ti'', заданным по (2.31) и (2.15). С другой стороны, уравнения поля (2.7), которые в этом случае совпадают с уравнениями Эйнштейна, инвариантны относительно полной группы вращений (2.3) и поэтому будут определять тетрадное поле не настолько точно, чтобы через (2.15) и (2.31) единственным образом задавать распределение энергии. Таким образом, к этим уравнениям поля, определяющим только метрику, должно быть добавлено еще шесть уравнений, которые в работе [1] были записаны как
Ф«* = 0, (2.32)
где фik — антисимметричный тензор, построенный из функций тетрадного поля и их первых и вторых производных.
Требование общековариантности для уравнений (2.32) не обеспечивает единственности выражения их левых частей. Однако дальнейшее требование, заключающееся в том, что условия (2.32) совместно с уравнениями Эйнштейна и надлежащими граничными условиями должны полностью определять тетрадное поле (с точностью до поворотов тетрад с постоянными коэффициентами), позволяет выделить определенный ограниченный класс выражений фій, таких, с которыми уравнения (2.32) дают единственным образом определенные выражения для тетрадного поля в двух наиболее важных случаях —в общем случае слабого поля и в случае «сильного» статического сферически симметричного поля. Фактически это единственные практически важные случаи.
Рассматривая статическую сферически симметричную систему, удобно перейти к системе изотропных координат, 44
Статья 1. X. Мёллер
в которых
gik = gii(r)б«, г= 1/2(^.
г
В этой системе решение наших уравнений, как было установлено в работе [1], имеет вид
h\a) = (2.33)
а выражение для Tift, вытекающее из этого решения, оказывается тождественным выражению Эйнштейна 6Д Эта тождественность Tift и в;" сохраняется во всех системах координат, которые можно получить из изотропной посредством линейных преобразований. Однако во всех других координатных системах 0г'' будет отличаться от Тг'1 и 0* нельзя будет интерпретировать как плотность энергии, ибо Sk в отличие от Ti'' не удовлетворяет свойству III. Так обстоит дело, в частности, в системе гармонических координат, которая получается из изотропной с помощью нелинейного преобразования типа (1.3) [1].
В общем случае слабого поля
gik = Hih +Уік(х), (2.34)
где Уік = JJhi — величины первого порядка малости, мы получаем в системе гармонических координат решение
V) і = 1Iai + 4" Vai (2.35)
и с точностью до первого порядка вновь имеем Tife = Ojft. Фактически в этом приближении оба выражения равны тензору материи %ih, но, вообще говоря, совпадение Tjh И @ік имеет место только в приближении слабого ПОЛЯ [1].
Теория, развитая в работе [1], не вполне удовлетворительна, поскольку уравнения поля, следующие из лагранжиана (2.29), необходимо было дополнять некоторым числом добавочных уравнений (2.32), которые не были даже определены единственным образом. И хотя неопределенность в выражении для фгь не играла роли в случаях, которые рассматривались явно в работе [1], все же общее положение дела нельзя было считать удовлетворительным. Как указал Плебаньский, неопределенность в фHi на самом деле даже несколько больше, чем считалось Законы сохранения в тетрадной теории гравитации 45
в работе [1], ибо мы рассмотрели тогда только ковариант-ные функции от Yjki и их производных. Однако легко видеть, что величина
Tilftlm = I бш"\ (2.36)
где ЬШт — обычный символ Леви-Чивита, преобразуется под действием произвольных координатных преобразований как тензор ранга 4. Далее величина
, = VpL=JAl (2.37)
есть постоянный псевдоскаляр. Это очевидным образом расширяет возможности построения ковариантных выражений <pift.
Чтобы ограничить произвол как можно более, естественно потребовать, чтобы все уравнения для тетрадного поля следовали из вариационного принципа. Это, очевидно, означает, что нужно найти другой лагранжиан, который, однако, должен содержать член (2.29) в качестве основной части. Кроме свойств а и б раздела І, лаґранжиан, который мы ищем, должен удовлетворять следующим свойствам:
в) 2 инвариантен относительно лоренц-поворотов тетрад с постоянными коэффициентами. Это означает, что тетрадный индекс а может фигурировать только как немой индекс;
г) вариационные уравнения совместно с надлежащими граничными условиями должны определять тетрадное поле полностью;
