Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
= (1.11)
гк bgik б gik У
где б Ibgih означает вариационную производную соответственно от SK или В отличие от 9Ї, которая является истинной скалярной плотностью, 2Е есть только аффинная скалярная плотность. С другой стороны, 2Е имеет то преимущество, что эта величина есть однородная квадратичная функция только от производных первого порядка.
Используя тождества Бианки, которые с помощью уравнений (1.6) можно записать как
V.k + yW"',« = 0, (1.12)
мы обычным путем придем к эйнштейновскому выражению для вД ВЫЧИСЛЯЯ lSlim в последнем члене в (1.12) при помощи уравнений поля и второго из выражений (1.11) для &im. Уравнение (1.12), как легко видеть, принимает тогда вид
e,V-=o, (1.13)
где Qth есть комплекс, определяемый соотношениями (1.7) и (1.8). Хорошо известно, что эйнштейновское выражение для комплекса энергии — импульса удовлетворяет вышеприведенным свойствам I и II, но не удовлетворяет свойству локализуемости III. Здесь важно отметить, что выполнение свойства II зависит от того, что а потому и Gi" суть однородные квадратичные функции производных первого порядка от полевых переменных gih. С другой стороны, тем обстоятельством, что 2е не является истинной скалярной плотностью, объясняется нелокализуемость энергии в эйнштейновской теории.
Во время последней конференции по теории относительности в Ройомоне я отстаивал другое выражение fcij'1 для комплекса энергии — импульса [2]; его преимущество заключалось в том, что оно удовлетворяет свойству локализуемости III. Получить его можно из (1.12) тем же Законы сохранения в тетрадной теории гравитации
37
путем, что описан выше, но взяв для ®im первое из выражений (1.11) вместо второго [3]. При этом (1.12) примет вид
®ih,k = 0, (1.14)
где
0,й = ?і" + вД (1.15)
a Qifl — алгебраическая функция от gik и его первых и вторых производных. Комплекс Qi'1 можно получить также, применив «метод инфинитезимальных координатных преобразований» к скалярной плотности UR [4], причем тот факт, что 9Ї есть истинная скалярная плотность, будет существенным для свойства III. Согласно (1.4), Qih также удовлетворяет свойству I, но, как было выяснено в последующей работе [5], зависимость Qtk от вторых производных метрического тензора в общем случае нарушает свойство II.
Таким образом, мы находимся в довольно затруднительной ситуации, поскольку имеем два различных выражения для комплекса энергии — импульса Bjh и Bjft, но ни то, ни другое не имеют всех трех свойств I—III. Первое выражение удовлетворяет свойствам I и II, но не III, второе же удовлетворяет свойствам I и III, но не удовлетворяет, вообще говоря, свойству II. Можно даже показать, что если не учитывать высших производных метрического тензора, т. е. производных второго порядка, то выражение Эйнштейна Bi*1—единственное, удовлетворяющее свойствам I и II [5], a Bi* — единственное удовлетворяющее свойствам I и III [6]. Как сказал один из моих студентов в летней школе в Бран-дайском университете в 1960 г.: «Дело выглядит так, как будто природа хочет нам что-то сказать». Как показало последующее развитие [1, 10], природа хотела сказать нам, что гравитационное поле есть не просто метрическое поле, но в основе своей тетрадное поле. Это означает, что пространство — время представляет собой не просто риманово пространство, но пространство именно того типа, которое впервые рассмотрел Вайценбек [7], и которое можно понимать как риманово пространство с внесенной в него тетрадной структурой. 38
Статья 1. X. M ё л л е р
Результат исследований последних лет мы можем сформулировать как утверждение, что удовлетворительное решение проблемы энергии возможно только в том случае, если уравнения гравитационного поля допускают вывод из вариационного принципа, в котором лагранжева плотность 2 обладает следующими свойствами:
а) S зависит алгебраически от переменных гравитационного поля и их первых производных, причем является однородной квадратичной функцией последних;
б) S есть истинная скалярная плотность относительно произвольных преобразований пространства — времени.
Но если в качестве переменных гравитационного поля брать компоненты метрического тензора, то подобной функции ? просто не существует. Однако, как показано в работе [1], ситуация оказывается совершенно иной, если принять, что истинными гравитационными переменными являются компоненты тетрадного поля. Это предположение подкрепляется также тем хорошо известным фактом, что влияние гравитационного поля на фермион-ное поле материи описывается через тетрадное, а не непосредственно через метрическое поле.
II. Тетрадная теория гравитации
Пусть /і(а)г, h(a>i обозначают соответственно контрова-риантные и ковариантные компоненты тетрады, отличаемой индексом (а), который принимает значения от 1 до 4, и допустим, что /г<4/ временноподобен, а остальные три тетрадных вектора соответственно пространственноподоб-ны. В обозначениях
h(a)l = ^b)h{b)\ А(я)4 = Л(оЬ)А(Ь)1, (2.1)
Где т)<а, Ъ) — Л'"1" — постоянная 4 X 4-матрица с диагональными элементами {1, 1, 1, —1}, связь между тетрадным полем и метрическим полем gih(x) дается соотношениями
