Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
производной от X, поскольку она определяет скорость изменения X со
временем для наблюдателя, движущегося с локальной средней скоростью и.
Говорят, что такой наблюдатель движется вдоль линий тока. Покажем теперь,
что относительно наблюдателя, движущегося вдоль линии тока, в разреженном
газе в нулевом приближении могут происходить только адиабатические
процессы. Уравнения (5.37) и (5.39) могут быть переписаны в виде
(ж +
Сложим оба уравнения; это дает
(i-+"v)c-ll(y+"'')e=0
(^-+u.v)(p9-*/0=O. (5.40)
Используя уравнение состояния Р = рд/т, мы можем преобразовать (5.40) и
получить условие
Pp-S4= const (вдоль линии тока). (5.41)
Это условие является уравнением адиабатического процесса для идеального
газа, так как cp/cv = 5,/3.
Получим, далее, линейное уравнение для звуковой волны. Ограничимся
случаем, когда скорость и и все пространственные и временные производные
от и, р и 0 являются величинами первого
¦) Общий способ построения гидродинамических уравнений на основе
микроскопической теории, свободный от указанных здесь ограничений, был
разработан Н. Н. Боголюбовым. [См. Н. Н. Боголюбов, РНвняння г!дро-
динам1ки в статистичнш механпц, зб. праць 1н-ту мат. № 10, 41 (1948), а
также Дж. У л е н б е к, Дж. Форд, Лекции по статистической механике,
изд-во "Мир", 1965, где в приложении дан перевод указанной статьи Н. Н.
Боголюбова.]. - Прим. ред.
§ 3. Приближение нулевого порядка
119
порядка малости. При F = 0 урапнения (5.37) и (5.38) могут быть заменены
следующими:
где величины более высокого порядка, чем первый, опущены. Отметим, что
уравнение (5.44) тождественно уравнениям (5.40) или (5.41). Взяв
дивергенцию от уравнения (5.43) и производную по времени от уравнения
(5.42), вычтем найденные уравнения одно из другого; в результате получим
уравнение
в котором мы опять пренебрегли членами более высокого порядка. Давление Р
представляет собой функцию р и 0, но последние величины не являются
независимыми, так как они связаны уравнением адиабаты (5.44).
Следовательно, мы можем считать Р только функцией р и написать
где (дР/дp)s--производная вдоль адиабаты, связанная с адиабатической
сжимаемостью xs соотношением
Мы получили волновое уравнение для плотности р, описывающее звуковую
волну, распространяющуюся со скоростью с, равной
(5.42)
(5.43)
(5.44)
(5.45)
(5.46)
Таким образом, (5.44) можно записать в виде
72P-P*s-§- = °-
(5.47)
(5.48)
Не удивительно, что в это выражение входит адиабатическая сжимаемость,
поскольку в настоящем приближении в газе, как показывает уравнение
(5.34), не может существовать передача тепла.
120
Гл. 5. Явления переноса
В заключение рассмотрим случай стационарного потока при действии внешнего
консервативного силового поля, т. е. при следующих условиях:
/-------'Ф' (5-49)
?="¦
Используя векторное тождество
(и- V)u=iv(tt2)_uX(VXu), (5.50)
мы можем переписать (5.42) следующим образом:
v(lb2 + 7P + ^) = uX(VXu)-^rir- (5'51)
Представляют интерес два следующих частных случая:
1) При однородной плотности и безвихревом движении, т. е. в случае когда
Vp=0 и VXu = 0, получаем уравнение
У(у"2+7Я + ^Ф) = 0, (5'52)
которое называется уравнением Бернулли.
2) При однородном распределении температуры и безвихревом движении, т. е.
когда V9 = 0 и V Хи=0, имеем уравнение
7(*-ц, + ±ф) = -i-VOnp), которое можно сразу же проинтегрировать
-hep)]. (5.53)
где р0 - произвольная постоянная.
§ 4, ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Оценим теперь ошибку, допущенную в
приближении нулевого порядка (5.30). Пусть f(r,\,t)-точная функция
распределения. Введем функцию
g(r, у, t) = f(г, V, O-/(0)(r, V, t). (5.54)
Нас будет интересовать порядок величины функции g по сравнению с /(0).
Оценим сначдла порядок величины (df/dt)СТ0ЛК' По определению, имеем
Шстолк = / / d2a (2) I - ^1 W - W "
" / d*v2f dQo (2) I V2 -Vj | (ff'g[ - ffg, + g2ff - g2ff), (5.55)
§ 4. Приближение первого порядка
121
где мы воспользовались соотношением (5.54), тем фактом, что
(dp0)/dt)СТОЛк = 0 и предположением о том, что g является малой
величиной, квадратом которой можно пренебречь. Для оценки (df/dt)cТ0Лк по
порядку величины вычислим второй член в правой части (5.55), который
равен
- g (г, vj, t) f d3v2anom | v2 - v, | /<°> = - .v 11 l) ¦, (5.56)
где x имеет порядок величины времени свободного пробега. Таким образом,
если мы положим
(df\ _ /-/(0) ,,
-х-¦ (5-57>
то придем к качественно верным результатам. Уравнение переноса Больцмана
с учетом (5.57) принимает вид
(w + v-Vr + -^-Vv)(/(0)+s0~-f. (5.58)
Предполагая, что ^<С[/(0)- мы можем пренебречь функцией g в левой части
уравнения (5.58). Предположим далее, что функция /<0) существенно
меняется (на величину порядка ее самой), только когда | г| меняется на
величину L. Тогда из (5.58) получаем
~ /(0> ?
(5'59)
где 7. - величина порядка длины свободного пробега. На основе этих
рассуждений мы приходим к выводу, что /(0) является хорошим приближением,
если характерная длина L изменения локальной плотности. температуры и
