Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
равновесную функцию распределения.
4.3. а. Какая часть газа, состоящего из молекул Н2, находящегося на
уровне моря при 300° К, может преодолеть гравитационное поле Земли?
б. Почему все же молекулы Н2 содержатся в атмосфере на уровне моря?
4.4. Используя релятивистскую динамику для молекул газа, определить для
разреженного газа с нулевым полным импульсом равновесную функцию
распределения и уравнение состояния.
Ответ. Произведение PV не зависит от объема. Следовательно, оно равно
NkT, по определению температуры Т.
4.5. Оценить вероятность того, что почтовая марка (массой 0,1 г), лежащая
на поверхности стола, при комнатной температуре (300° К) самопроизвольно
взлетит на высоту 10-8 см над поверхностью стола.
Указание. Рассмотреть не одну марку, а бесконечное число
невзаимодействующих марок, лежащих рядом друг с другом. Привести
рассуждения, показывающие, что расположение этих марок подчиняется
распределению Максвелла - Больцмана.
Ответ. Пусть т - масса марки, h - высота, g - ускорение силы тяжести.
Тогда вероятность примерно равна exp (- mgh/kT).
4.6. Воздух в комнате объемом 3X3X3 м3 находится при обычных условиях
(атмосферном давлении и температуре 300° К).
а. Оценить вероятность того, что в какой-нибудь момент времени объем в 1
см3 где-нибудь внутри комнаты полностью освободится от воздуха в
результате самопроизвольной статистической флуктуации.
б. Оценить эту же вероятность для объема в 1 А3.
Ответ. Пусть N - полное число молекул воздуха, V - объем комнаты, V -
объем, полностью свободный от воздуха. Тогда искомая вероятность примерно
равна exp (- Nv/V).
4.7. Предположим, что произошла флуктуация, описанная в задаче 4.6, п.
"а". Качественно описать последующее поведение функции распределения.
Оценить промежуток времени, через который такая флуктуация может повто-
риться, если столкновения молекул происходят таким образом, что временная
последовательность состояний системы является случайной.
4.8. а. Объяснить, почему мы получили распределение Максвелла - Больцмана
(4.47) для газа с нулевой средней скоростью (v0 = 0), хотя средняя
скорость не была упомянута в макроскопических условиях (4.40) и (4.41).
б. Вывести распределение Максвелла - Больцмана для газа, имеющего
среднюю скорость v0, используя метод наиболее вероятного распределения.
4.9. Пусть
Н = J d3vf (v, t) In / (v, 0. где / (v, t) - произвольная функция,
удовлетворяющая условиям f d3vf (v, 0 = n,
/Л1т!/(^) = ,
Показать, что функция И минимальна, если / - распределение Максвелла -
Больцмана.
Глава 5
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 1. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
Начнем наше обсуждение проблемы приближения первоначально неравновесного
газа к состоянию равновесия с введения качественного понятия средней
длины свободного пробега и связанных с ней величин.
Состояние газа неравновесно, если его функция распределения отличается от
распределения Максвелла - Больцмана. В наиболее обычном случае
неравновесного состояния температура, плотность и средняя скорость не
постоянны внутри газа. Чтобы газ перешел в равновесное состояние, эти
неоднородности должны сгладиться путем переноса энергии, массы и импульса
из одной части газа в другую. Механизмом, обеспечивающим этот перенос,
являются столкновения молекул; среднее расстояние, на которое могут быть
перенесены молекулярные свойства за одно столкновение, называется средней
длиной свободного пробега. Она равна среднему расстоянию, пробегаемому
молекулой между двумя последовательными столкновениями. Дадим оценку
порядка ее величины.
Число столкновений, происходящих за 1 сен в единице объема газа в точке
г, определяется величиной
Z = J divl J d3v2 J d?2a (2) | Vj - v21 / (г, t) f (r, v2, t),
где /(r, v, t) - функция распределения. Интегрирование no углам рассеяния
2 сразу же дает
Z = J dzvx J ^Зг>20полн1 Vi - v2| /(г, уг, t)f(r, v2, t). (5.1)
Длина свободного пробега, как мы уже говорили, определяется как
расстояние, пробегаемое молекулой между двумя последовательными
столкновениями. Поскольку происходит столкновение двух молекул, при
каждом столкновении обрывается свободный пробег двух молекул. Поэтому
полное число свободных пробегов, совершаемых молекулами за 1 сен в
единице объема, равно 2Z. Поскольку в единице объема находится п молекул,
то среднее число свободных пробегов, совершаемых одной молекулой за 1
сен, равно 2Zjn. Средняя длина свободного пробега равна
(5.2)
§ 1. Средняя длина свободного пробега
111
где v=^2kT!m. - наиболее вероятная скорость молекулы. Средняя
длительность свободного пробега называется средним временем свободного
пробега и определяется следующим образом:
т = 4. (5.3)
v
Для равновесного газа функция /(г, v, t) является распределением
Максвелла - Больцмана. Для приближенной оценки интересующих нас величин
предположим, что сечение аполн не зависит от энергии сталкивающихся
молекул и может быть заменено постоянной порядка я а2, где а - диаметр
молекулы. Тогда мы получим
