Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хуанг К. -> "Статистическая механика" -> 42

Статистическая механика - Хуанг К.

Хуанг К. Статистическая механика — М.: Мир, 1966. — 521 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayamehanika1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 154 >> Следующая

(5.98)
где cv~3j2, и R - вектор с компонентами
(5'99)
В этих уравнениях величинами первого порядка малости являются р, К, и и
производные от р, 0 и и. Сохраняя лишь величины первого порядка малости,
мы можем пренебречь всеми членами, содержащими производные от р и К, и
последними четырьмя членами в правой части уравнения (5.98). Тогда мы
получим уравнения гидродинамики первого порядка:
¦^ + V ' (Рц) = 0 (уравнение непрерывности), (5.100)
(I-+"¦т) "=¦!-fv ¦")+-? т!"
(уравнение Навье-Стокса), (5.101)
(^ + u.v)0 = __L(v.u)0 + JLv20
(уравнение теплопроводности), (5.102)
Гл. 5. Явления переноса
где су = 3/2. Если газ движется вдоль стенки, то необходимо пользоваться
граничными условиями (5.91).
Если и = 0, то (5.102) сводится к уравнению
Р cv^-l<(tm) = 0, (5.103)
которое является обычным уравнением теплопроводности. Это уравнение можно
вывести из интуитивных представлений, используя определение q = - АГУ0.
Хотя мы доказали последнее уравнение только для разреженных газов,
экспериментально установлено, что оно справедливо также и для жидкостей,
и для твердых тел. Поэтому уравнением (5.103) часто пользуются для
описания распространения тепла в системах, не являющихся разреженным
газом.
Уравнение Навье - Стокса также можно вывести на основе интуитивных
представлений, пользуясь эмпирическим определением коэффициента вязкости,
основанным на способе его измерения. Мы приведем этот выпод в следующем
параграфе.
§ 7. УРАВНЕНИЕ НАВЬЕ-СТОКСА
Дадим теперь феноменологический вывод уравнения Навье-Стокса и покажем,
таким образом, почему это уравнение должно быть справедливо и для
жидкости ¦). Затем обсудим некоторые примеры использования этого
уравнения.
Рассмотрим маленький элемент жидкости объемом dxldx2dxA, скорость
которого равна u (г, t). Согласно второму закону Ньютона, уравнение
движения этого элемента жидкости имеет вид
где т -- масса элемента жидкости и % - суммарная действующая на него
сила. Пусть массовая плотность жидкости равна р; будем считать, что на
элемент жидкости действуют две силы: сила, вызванная внешними по
отношению к жидкости источниками, и сила, вызванная действием соседних
элементов жидкости. Обозначим эти силы, действующие на единицу объема,
соответственно через F] и G. Таким образом, мы можем написать
т = о dx} dx2 dx&,
% =(F, + G) dxldx2dxy
') Микроскопический способ построения уравнений гидродинамики см. в
цитированной на стр. 118 работе 11. Н. Боголюбова. Последовательно
применяя этот метод, можно выразить давление и вязкость через
корреляционные функции равновесной системы. - Прим. ред.
§ 1. Уравнение Навье - Стокса
131
Следовательно, второй закон Ньютона для элемента жидкости принимает вид
P(^+U'V)U==Fl + G- (5Л04)
Таким образом, вывод уравнения Навье - Стокса сводится к нахождению
выражения для силы G.
Выберем систему координат таким образом, чтобы рассматриваемый элемент
жидкости имел форму куба, ребра которого направлены вдоль координатных
осей, как изображено на фиг. 45. На шесть граней этого куба действуют
силы, обусловленные соседними элементами жидкости. Направление силы,
действующей на каждую грань,
определяется направлением нормали к соответствующей грани. Иначе говоря,
направление силы зависит от того, какую сторону грани считать "внешней11.
Это легко понять из физических соображений, если вспомнить, что
рассматриваемые силы обусловлены гидростатическим давлением и движением
вязкой жидкости. Обозначим через Тг силу, действующую на единицу площади
грани, нормаль к которой направлена вдоль оси xt. Тогда силы, действующие
на единицу площади двух граней, нормальных к оси xt, соответственно равны
(см. фиг. 45):
Т'' ~(Т'+^Г,ах) (*'=1.2. 3). (5.105)
Суммарная сила, действующая на куб со стороны соседних элементов
жидкости, равна
Gdxldx2dxi=- _j_ ^.'jdxldx2dxi. (5.106)
9*
132
Гл 5. Явления переноса
Обозначим компоненты векторов Т,, Т2, Т3 следующим образом:
Т, = (Л:. Лг. Piз).
Т2=(Р2], Р22, Р23), (5.107)
Т3=(^31. ^32. ^зз)-
Тогда
дРи
0' = -~жт- <5Л08>
ИЛИ
0 = -V-/T (5.109)
С учетом соотношения (5.109) уравнение (5.104) принимает вид
p^+u.^F.-V.A (5.110)
Это уравнение совпадает с (5.22), если мы положим F!=pF/m, где F-внешняя
сила, действующая на одну молекулу, и m-масса молекулы. Чтобы получить
уравнение Навье -¦ Стокса, необходимо лишь найти явный вид функции Р^.
Постулируем, что уравнение (5.110) справедливо вне зависимости от выбора
координатной системы. Тогда Ptj является тензором.
Предположим, что рассматриваемая жидкость изотропна, так что все
координатные оси эквивалентны. Следовательно, мы должны иметь
Рп = Р22 = Р33 = Р, (5.111)
где Р, по определению, является гидростатическим давлением. Таким
образом, Рц можно записать в виде
Рц = ЬцР + Р'ц, (5.112)
гле Ptj-тензор с нулевым шпуром, т. е.
2я|/ = 0. (5.113)
Это следует из того, что (5.113) выполняется в выбранной системе
координат, а величина шпура тензора не зависит от выбора системы
координат.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed