Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
окончательно получаем
(тг+'^Ь-ж^-ЫА- <5,8)
Наконец, положим % = i/2m | v- u|2. Тогда
(5.19)
§ 2. Законы сохранения
115
Определим температуру соотношением
kT = Q /я (| v - u |2), а поток тепла - соотношением
q=Imp_((v-u)|v-u|2>;
¦j m9 {vi I v - u |2> = j mp {(vt - и,) | v - u |2) +
+ j mpa, { | v - u I2) = qt + -§• p0a,
P (Vf ~ Uj)) = p {(vt - a,) (Vj - uj)) + pa, {vj - Uj) = P",
Следовательно, (5.19) можно записать в виде
3 д дд, 3 д ди,
2 РГ <р0> + ^7 + 2 (р0а-) + тРч ^7 = °-
Поскольку Pij = Pjl, то
ди,- т /ди, ди,\
Окончательная форма уравнения получается после нескольких простых
преобразований
р(4+¦- ?)6+т -к-ч> - -1 w ("о)
Подводя итог, запишем три закона сохранения в следующем виде: + V • (ри)
= 0 (сохранение массы), (5.21)
p|-J- + u • Vju =-^-F - V-Р (сохранение импульса), (5.22)
p^-^- + u-vjo = - ~ V ¦ q-jP ¦ Л (сохранение энергии), (5.23)
где Р - тензор с компонентами Р,;-, V-Р - вектор, г-я компонента которого
равна dP^/dXj, Р • Л - скаляр Рг/-Лг/., и где введены
116
Г л. 5. Явления переноса
(массовая плотность). (5.24)
(средняя скорость), (5.25)
(температура), (5.26)
(вектор потока тепла), (5.27)
(тензор давления), (5.28)
(5.29)
следующие величины:
р (г, t) = m j <Pvf(г, v, t) u(r, t)=={\) 0(r,/) = |"(|v-up> q (r, t)=
jmp{(v - u)|v - u|2)
Pij = 9{(Vi - Ui)(vj - Uj))
1 j dai duj \
au=2 m (жу + жрг
Хотя эти законы сохранения являются точными, они имеют практическую
ценность только в том случае, если мы решим уравнение переноса Больцмана
и воспользуемся найденной функцией распределения для вычисления величин
(5.24)-(5.29). Несмотря на то что эти величины имеют вполне определенные
названия, их физический смысл, если таковой имеется, может быть
установлен только после определения функции распределения. Мы увидим, что
если эта функция известна, то законы сохранения становятся уравнениями
гидродинамики, имеющими вполне определенный физический смысл.
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА
Предположим, что мы рассматриваем газ, состояние которого мало отличается
от равновесного. В частности, предположим, что в окрестности любой точки
в газе функция распределения является локальным распределением Максвелла
- Больцмана и что плотность, температура и средняя скорость медленно
меняются в пространстве и во времени. Для такого газа естественно принять
приближение
/(г, V, /)5" /(0)(г, V, /), (5.30)
/<°>(г, v, t) = п ^2^ё)5/! ехР [ (v u)2] > (5.31)
а п, 0, и - медленно меняющиеся функции г и /. Очевидно, что функция
(5.30) не может быть точным решением уравнения переноса Больцмана.
Очевидно также, что
<5'32>
поскольку п, 0, и не зависят от V. Вместе с тем ясно, что в общем
^- + v-Vr+^-Vv)/(0)(r, V, {)Ф0.
§ 3. Приближение нулевого порядка
117
Вопрос о точности приближения (5.30) мы обсудим несколько позже, а пока
предположим, что оно является хорошим, и получим из него некоторые
физические следствия.
Если (5.30) является хорошим приближением, то левая часть соотношения
(5.33) должна быть приближенно равна нулю. Это в свою очередь означает,
что п, 0, и должны приближенно удовлетворять законам сохранения (5.21)-
(5.23), Следовательно, законы сохранения будут определять поведение
функций п, 0, и. Чтобы получить их, мы должны вычислить q и Ptj в низшем
порядке. Соответствующие величины обозначим через q(0* и Pfj. Пусть С (г,
t) = = я (m/2n0)v' и А (г, t) - m/20. Как нетрудно найти,
q(0) J d3v (v - u) | v - u |2C(r, 'v-"F =
= lm2C(r, t) j d3U\]U4~A^ '>№ = 0, (5.34)
Pfj = ?C(r. Of d3v(vi- ut) (Vj - uj) e~A <r. 0 I *-" P =
= mC (r, t) J d3UUiUje-A^t^u, = bijP, (5.35)
где
P = l P ЬжГ I d3U^'Mr' t)U' = " (0) (5.36)
представляет собой локальное гидростатическое давление.
Подставляя эти выражения в (5,21) и (5.23) и замечая, что
V •"/>"" = VP,
Р<о> • лГ= Р 2 Л,.; = mPV ¦ и,
получаем уравнения
¦jj- + v • (pu) = 0 (уравнение непрерывности), (5.37)
-f и • v) ц VP =-^- (уравнение Эйлера), (5,38)
(-|-+u.v)0 + -i-(V.u)0 = O, (5.39)
где cv = 3/2. Эти уравнения описывают течение газа без учета вязкости. У
них есть решения, определяющие потоки газа, которые могут существовать
как угодно долго. Таким образом, в этом приближении локальное
распределение Максвелла - Больцмана не переходит с течением времени в
истинное распределение Максвелла - Больцмана, Такой вывод находится в
грубом соответствии с экспе-
118
Гл. 5. Явления переноса
риментом, поскольку известно, что гидродинамические потоки,
предоставленные самим себе, сохраняются в течение длительного времени.
Хотя уравнения (5.37) - (5.39) были выведены для разреженного газа, они
пригодны и для описания движения жидкости, поскольку эти уравнения могут
быть получены и с помощью более общих рассуждений, носящих эвристический
характер, что свидетельствует о более широкой области их применимости *).
Перечислим теперь кратко некоторые следствия уравнений (5.37) - (5.39),
представляющие практический интерес.
Величина (djdt-\-u • V) X называется полной, или "материальной"
