Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
эффектам, например рассеянию света на флуктуациях плотности. Голубой цвет
неба свидетельствует о таком рассеянии.
В заключение скажем несколько слов о смысле предположения о "молекулярном
хаосе". Всякий раз, когда функция распределения не является точной
функцией Максвелла - Больцмана, функция Я, по-видимому, имеет локальный
максимум. С другой стороны, мы показали ранее, что в состоянии
"молекулярного хаоса" функция Я имеет локальный максимум. Таким образом,
мы можем рассматривать состояние "молекулярного хаоса" как удобную
математическую модель для описания состояния, которое не обладает точной
функцией распределения Максвелла - Больцмана.
§ 5. ДВА "ПАРАДОКСА"
Когда Больцман почти столетие назад сформулировал Я-теорему, то против
нее были выдвинуты возражения на том основании, что она ведет к
"парадоксам". Это так называемые "парадокс обратимости" (reversal
paradox) и "парадокс возврата" (recurrence paradox). Оба этих парадокса
основаны на неправильной формулировке Я-теоремы, состоящей в том, что
dH/dt ^ 0 для всех моментов времени. Правильная формулировка Я-теоремы,
приведенная в предыдущем параграфе, снимает эти возражения. Мы упоминаем
об этих "парадоксах" только ввиду их исторического интереса.
"Парадокс обратимости" состоит в следующем. "Я-теорема выделяет одн)
направление времени. Следовательно, она несовместима с инвариантностью
относительно обращения времени". Парадокса здесь нет, поскольку
утверждение, на которое он опирается, неверно. Мы видели в предыдущем
параграфе, что инвариантность относи-
§ 5. Два <гпарадокса"
105
тельно обращения времени совместима с Я-теоремой, так как производная
dH/dt не обязательно должна быть непрерывной функцией времени. В
действительности мы воспользовались инвариантностью относительно
обращения времени, чтобы вывести некоторые интересные свойства поведения
функции Я.
"Парадокс возврата" основывается на следующей верной теореме.
Теорема Пуанкаре. Система, имеющая конечную энергию и заключенная в
ограниченный объем, через достаточно большой промежуток времени
возвращается в сколь угодно малую окрестность почти любого заданного
начального состояния.
Под словами "почти любое состояние" подразумевается любое состояние, за
исключением состояний с нулевой мерой (т. е. множество состояний, которым
нельзя сопоставить никакого объема, например совокупность дискретных
точек). Под окрестностью состояния понимается его окрестность в Г-
пространстве системы.
Доказательство теоремы Пуанкаре приведено в конце этого параграфа.
Согласно этой теореме, функция Я является почти периодической функцией
времени. "Парадокс нарушения возвратности" возникает, очевидно, в том
случае, когда мы будем считать формулировкой Я-теоремы утверждение, что
dH/dt ^ 0 для всех моментов времени. Но поскольку Я-теорема этого не
утверждает, то нет и парадокса. В действительности теорема Пуанкаре дает
нам дополнительную информацию о поведении функции Я.
Большую часть времени значения функции Я лежат в области шума. Согласно
теореме Пуанкаре, малые флуктуации в области шума должны повторяться. Но
это лишь теоретическое утверждение.
Относительно редких самопроизвольных флуктуаций, выходящих за пределы
области шума, теорема Пуанкаре утверждает, что если одна такая флуктуация
имела место, то она должна повториться спустя достаточно большой
промежуток времени. Интервал времени между двумя большими флуктуациями
называется циклом Пуанкаре, Грубая оценка (см. задачу 4.7) показывает,
что цикл Пуанкаре по порядку величины равен eN, где N - полное число
молекул в системе. Поскольку N ^ 10 , то цикл Пуанкаре чрезвычайно велик.
Действительно, эта цифра так огромна, что практически все равно,
,q23 ]023 ,
написать ли 10 сек или 10 возрастов Вселенной (для сравнения укажем, что
возраст нашей Вселенной всего лишь Ю10 лет). Столь большой промежуток
времени для физики не имеет смысла.
Доказательство теоремы Пуанкаре. Пусть состояние системы представляется
точкой в Г-пространстве. С течением времени любая точка в Г-пространстве
описывает траекторию, которая однозначно определяется любой заданной
точкой на этой траектории. Пусть ga - произвольный элемент объема в Г-
пространстве, имеющий величину ш". Спустя время t все точки из g0
окажутся в другом элементе объема gt (вели-
106
Г л. 4. Равновесное состояние разреженного газа
чины ю/), который однозначно определяется элементом g0. По теореме
Лиувилля О)/ = ю0.
Обозначим через Г0 подпространство, объединяющее все элементы g( для 0 <
/ < со. Пусть объем его равен Й0. Подобно этому обозначим через Гт
подпространство, объединяющее все элементы gt для т</<оэ. Объем его равен
Йт. Так как энергия и пространственный объем, занимаемый системой,
конечны, представляющие точки заключены в конечной области Г-пространства
и объемы й0 и Йт конечны. Согласно определению, подпространство Гт
содержится в Г0. Мы можем представить себе Г0 и Гт другим образом.
Предположим, что область Г0 равномерно заполнена представляющими точками.
