Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
скорости много больше средней длины свободного пробега X. Поправки к
функции /<0) имеют величину порядка X/L.
Последовательное разложение функции / в ряд по степеням X/L производится
с помощью довольно сложного метода Чепмена - Энскога. Чтобы не упустить
из вида физическую сторону проблемы, мы приведем сначала качественный
вывод приближения первого порядка, основанный на приближенном уравнении
(5.58). Точное значение х здесь не может быть получено. Для настоящего
вывода нам достаточно знать, что х имеет порядок величины времени
свободного пробега. Итак, положим
/ = /<0,+^ (5.60)
122
Гл. 5. Явления переноса
где, согласно (5.58),
ff = -T(4+v.vr+-L.Vv)/(o>. (56])
При вычислении функции g будем иметь в виду, что /(0) зависит от г и t
только через функции р, 0 и и. Таким образом, нам необходимо найти
следующие производные:
Ф
а/°>
41L = -J!Lu.№
dv, О UJ '
где
U = v- u(r, t). (5.63)
Следовательно,
? = ~ T + Vi + it "йУ /(0> =
=- т/<о> a °^+i tf ^ - т) о (в)+1 ^ cv -1 р ¦ и].
(5.64)
гае
(5-65)
Используя уравнения гидродинамики нулевого порядка (5.37) -(5.39) мы
можем показать, что
D(p) = - p(V • u) + U • Vp,
D(0)=- -3 OV • u + U • VO, (5.66)
1 dP F j du:
D (">) = - 7 S7j +ИГ + U' ЦГ • где P = pO/fft. Подставляя эти выражения в
(5.64), находим
+ т(-и-^+иГ + ул57)-тГ-4
§ 4. Приближение первого порядка
123
После некоторых преобразований и взаимного уничтожения членов эта функция
принимает вид
*-' Ьг ?, и' (я и!- т)+ W ЛЧ (и'и1 - i "ч"1)] /"'¦ <5И>
где А1} определяется соотношением (5.29).
Чтобы получить уравнения гидродинамики первого порядка, теперь необходимо
вычислить q и Р1} с помощью (5.60). Имеем
4 f d3v(v - u)] v - u]2 S'.
Замечая, что второй член соотношения (5.67) не дает вклада в этот
интеграл, получаем
I--2?! mvif' (1W!- т) i и'-щГ-
q = - KVQ, (5.68)
к = 1ж I(ш U2 ~ 4)/<0)=4Т0Л- (5'69)
Из уравнения (5.68) видно, что К является коэффициентом теплопроводности.
Ясно также, что ] q ] представляет собой малую величину первого порядка
по X/L.
В тензор давления Рдает вклад только второй член соотношения (5.67):
Ptj = ifd3v (v, - и,) (vj - и.;) (f{0) + g) = buP + Р'ц, (5.70)
где Я = р0/от и
p'(j= - ^Aklf d3UUiUJ^UkUl - уб^7/2)/(0). (5.71)
Чтобы определить эту величину, заметим, что Ptj является симметричным
тензором со следом, или шпуром, равным нулю
^т. е. 2j Р'и = о] . и линейно зависит от симметричного тензора Atj.
Следовательно, тензор Ptj должен иметь вид
p'ij = -^;{Alj - ~bijV. и), (5.72)
где mV ¦ и является не чем иным, как следом тензора Лi;-:
124
Гл. 5. Явления переноса
и ц - постоянная. Остается вычислить [г. Для этой цели достаточно
вычислить любую компоненту Р,у, например Р12. Из (5.71) имеем
Рп = - ^ Л*г J d3UU,U2 {ukUt - j бHU^j /<"" =
= _2 (tm)Anf d3UU]U22fm.
Следовательно,
p = J d3UU\u\fm = тя0. (5.74)
Итак, мы получаем
Ри = 6t)P - (л" - 6;jV • u) . (5.75)
Второй член имеет порядок XjL. Как мы вскоре покажем, коэффициент р
является коэффициентом вязкости.
Сравнивая (5.74) с (5.69), находим
Поскольку неизвестное время свободного пробега т выпало из отношения этих
коэффициентов, то можно ожидать, что формула (5.76) имеет не только
качественное, но и количественное значение. Это подтверждается
экспериментальными данными, приведенными на фиг. 42 для различных
разреженных газов.
Положим, согласно (5.6),
V кТ па* '
-диаметр молекулы; тогда получим
~ к ~ VткТ
§ 5. ВЯЗКОСТЬ
Чтобы показать, что формула (5.74) определяет коэффициент вязкости,
вычислим независимо коэффициент вязкости, пользуясь его экспериментальным
определением. Рассмотрим газ, имеющий однородную и постоянную плотность и
температуру. Пусть средняя скорость газа определяется условиями
и х = А -)- Ду,
"'=", = о, <579)
где А и В - постоянные. Этот газ можно представить себе в виде отдельных
слоев, скользящих друг по другу, как изображено
$ 5. Вязкость
125
на фиг. 43. Проведем произвольную плоскость, перпендикулярную оси у, как
показано пунктирной линией на фиг. 43. Пусть F' - сила трения на единицу
площади, которую испытывает газ выше этой
плоскости. Тогда коэффициент вязкости р экспериментально определяется
соотношением
(5.80)
На газ, расположенный выше плоскости, действует сила трения в результате
передачи нижележащим слоям газа .^-компоненты импульса. Таким образом,
F' есть .^-компонента импульса, передаваемого за 1 сек
через единичную плошадку в направлении оси у. (5.81)
Величина передаваемого импульса равна m(vx- их), в то время как плотность
потока молекул, участвующих в передаче импульса, равна n(vy - йу).
Следовательно, мы получаем
F' = mn {(vx -
их)((r),-",)> =
= т f d3v (vx - их) (vy - tty) (/(C) + g).
Легко видеть, что функция /(0) не дает вклада в интеграл (5.82). Первую
поправку к функции распределения - функцию g - можно
Г л. 5. Явления переноса
v ¦ V/(0) = -< (5.83)
g=-^vy(vx- их) В,Г =- UyUx ^ f\
где U = v- и. Таким образом,
F' = - Ж ПГ / <?VUlu)fK (5.84)
Сравнивая это выражение с (5.80), получаем
