Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
2 = оПВЛИ J d3v{ J d3v21 Vi - v21 / (Vi) / (v2) =
- °"(tm)"! (¦шт)' I Л> I I *1 - "> I "р [-¦щ-М+"Э] -
= (tSt)' IJ Л | ч"Р[-357 (2K= +1 "¦)],
где V = 1/2(v1 + v2). v = v2 - V;. Интегрирование проводится элементарно
и дает
Z = 4я2аП0ЛЯ j f ~~ = 4я20пшга у=г ¦ (5.4)
Следовательно,
Х=Т Y <5-5>
(56>
где г>=/2kT/m. Мы видим, что средняя длина свободного пробега не зависит
от температуры и обратно пропорциональна произведению плотности на полное
сечение рассеяния. Соотношения (5.5) и (5.6) дают хорошую оценку и для
газа, находящегося вблизи состояния равновесия,-случай, который в
дальнейшем мы только и будем рассматривать.
Приведем некоторые численные оценки. Для газа из молекул Н2 в критической
точке
к " КГ7 см, т Я5 10-п сек.
Для газа из молекул Н2 в межгалактическом пространстве, где плотность
составляет около 1 молекулы в 1 см3, к~ 1015 см.
Диаметр молекулы Н2 принят равным примерно lA.
112
Г л. 5. Явления переноса
Из этих качественных оценок следует, что в газе из молекул Н2 при
нормальных условиях всякая неоднородность плотности или температуры,
существующая на расстояниях, например, порядка КГ7 см, должна
сглаживаться за время порядка 1СГ11 сек. Вариации плотности и температуры
на макроскопических расстояниях могут существовать в течение длительного
времени.
§ 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Для исследования неравновесных явлений мы должны решить уравнение
переноса Больцмана с заданными начальными условиями и найти таким
образом зависимость функции распределения от времени. Любое
решение уравнения Больцмана должно удовлетворять
ряду строгих соотношений, которые можно получить, исходя из того, что при
каждом столкновении молекул некоторые динамические переменные строго
сохраняются.
Пусть х(г, v) - некоторая величина, характеризующая молекулу с
координатой г и скоростью v и обладающая тем свойством, что в любом
столкновении {v,, v2} -* [v(, v2}, происходящем в точке г, выполняется
соотношение
X, + Х2 = X; + (5-7)
где Xi - X(ri- vi) и т- Д- Назовем % сохраняющейся величиной. Имеет место
следующая теорема.
Теорема.
/ d*vX (г, v) [^-(У' °-]стодк = 0, (5.8)
где {df/dt)столк- правая часть уравнения (3.36),).
Доказательство. Согласно определению {dfjdt) столк, мы имеем
/ d3v% (4fi о к = / ^ ^ I v2 - V112^1 (/i'/г - /1/2)-
(5.9)
Используя свойства функции a (2), которые мы обсуждали в гл. 3, § 2, и
поступая так же, как и при доказательстве //-теоремы, произведем замену
переменных интегрирования в следующей последовательности:
а) v, ^ v2,
б) V1"^V1 И V2^V2'
в) VI"^V2 И V2^V1'
¦) Отметим, что при этом не требуется, чтобы функция / была решением
уравнения переноса Больцмана.
§ 2. Законы сохранения
113
В каждом случае мы получаем различные формы одного и того же интеграла.
Сложив полученные таким образом три новых соотношения с исходным (5.9) и
поделив результат на 4, находим
/ d3vx (4г)столк = Т / d3v> / d3(r)2 / (Q) I Vi - v21 X
X (/2/; - /2/,)(X, + I2- X,' - X2) = 0.
что и требовалось доказать.
Чтобы получить законы сохранения из уравнения переноса Больцмана, надо
умножить обе части этого уравнения на х и затем проинтегрировать по всем
V. Член, учитывающий столкновения, обращается в нуль согласно (5.8), и мы
имеем •)
/ d*vt{ г, v)(^ + ^1|- + ^-Fi^r)/( г, V, 0 = 0. (5.10)
Мы можем переписать (5.10) в виде
w I d3vxf+f d3v*v'f -fd3vi& +
+i Id3v & (xw~ f ^ i ? /=0. (5.11)
Четвертый член в этом выражении обращается в нуль, если предполагается,
что функция /(г, V, 0 стремится к нулю при |v|->co. Вводя следующее
определение среднего значения (Л):
Г dbvAf , .
{.А) = ^ = - \ d3vAf, (5.12)
J d*vf J
где
п (г, t) = j d3vf(г, v, 0. (5-13)
получаем наконец нужную нам теорему.
Теорема сохранения
Ж + -Щ {nv,x) - п (v, §j) - ? (Ft -gL) - ? (g- х) = 0,
(5.14)
где х - любая сохраняющаяся величина. Заметим, что (яЛ) = я(Л), так как я
не зависит от v. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением внешних сил,
не зависящих от скорости, так что последний член в (5.14) может быть
опущен.
¦) Предполагается, что по повторяющимся индексам координат векторов
проведено суммирование от 1 до 3.
8 К. Хуанг
114
Г л. 5. Явления переноса
Для простых молекул независимыми сохраняющимися величинами являются
масса, импульс и энергия. Для заряженных молекул сохраняется также заряд,
но обобщение на этот случай производится тривиально. Последовательно
полагая
X = т (масса),
f_ = mvi (г = 1, 2, 3) (импульс),
X=-j"|v - u(r, f)|2 (тепловая энергия),
u(r, f) = (v),
получаем три независимых закона сохранения.
Для х = т сразу же находим
'дли, вводя массовую плотность
р(г, 0- ЮЛ(Г, t),
получаем
-J + V-(pu)=0. (5,15)
Положим далее x = wi>/-. это дает
ж +-щ i = °- <5 -16>
Для дальнейших преобразований запишем
{ViVj) = {(vt - и,) ((r)х - и;-)> + {vt) Uj + и, <>,-) - uluj =
= (((r)/ - "г) / - "/)> + UiUy
Подставим это выражение в (5.16); тогда имеем
+ - 3§7<Р(", - "Л- (5-Щ
Вводя для сокращения записи величину
Pij=P {(Vi - Ut) (Vj - uj)), которая называется тензором давления,
