Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
Конечно, общая теория относительности отнюдь не является теорией в двух
измерениях. Лагранжиан VgR есть полная производная для D=2, и вследствие
этого левая часть полевых уравнений
Эйнштейна R^—уg^R обращается в нуль тождественно (см.,
например, [20]). Это создает проблему при использовании метода размерной
регуляризации. Предположим, что когда мы вычисляем инвариантные амплитуды
в 2+е-измерениях, мы находим, что какая-то инвариантная амплитуда имеет
полюс при е=0 и что для того, чтобы аннулировать этот полюс, мы должны
добавить к лагранжиану член, пропорциональный VgR/ъ. Можем ли мы
игнорировать такие контрчлены на основании того, что J d2x\f gR
обращается в нуль при е=0? Ответ оказывается отрицательным [155]: если мы
не включили контрчлен, пропорциональный gR/г, туда, где нужно
аннулировать полюсы в инвариантных амплитудах при е=0, то функции Грина,
которые мы вычисляем, могли бы оказаться конечными при е=0, но они не
будут аналитическими функциями е при е=0 в 2+е-измерениях, как
предполагалось в формулировании продолжения по размерности ренорм-группы.
В таком случае мы
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
443
приходим к выводу, что гравитационная константа связи, которая появляется
в эйнштейновском лагранжиане —\fgR/l6nG, подлежит перенормировке в 2+е-
измерениях даже для е-*0. Позднее мы вернемся к вопросу о том, является
ли G существенной связью, которую нельзя изменить подходящим
переопределением полей.
Неперенормированная гравитационная постоянная G0(e) в 2+е-измерениях
имеет размерность [масса]-8, поэтому в обозначениях разд. 5 р0=—1, <хо=0.
Структура особенности G0(e) при е-*0 создается здесь соотношением (36) в
виде
Go (в) Ие —* G (р) + 2 e-vfcv (G (р)). (68)
V=* I
Кроме того, (38) и (42) дают уравнение ренорм-группы для конечного
значения е
p?G(p) = P(G(p), е), (69)
где
р (G, е) = eG + b, (G)- Gbl (G). (70)
Для малых G мы ожидаем, что
bl(G) = bG* + 0(G>), (71)
так что (70) дает
р (G, е) = eG — bG1 + О (G3). (72)
Ключевой вопрос состоит в том, является ли b положительной ве-
личиной; и тогда существует фиксированная точка
G* = е/6 + О (е2), (73)
и, как показано в разд. 5, она имеет ультрафиолетовую критическую
поверхность конечной размерности.
Вычисление b было выполнено в ряде конкретных случаев несколькими
различными группами '). Их результаты, полученные к
1977 г., можно обобщить в виде утверждения, что особенности во всех чисто
гравитационных функциях Грина в 2+е-измерениях при е=0 погашаются в
однопетлевом порядке, если мы предположим, что голая гравитационная
постоянная имеет полюс
G0pe — G + bGVe, (74)
где
6 = | + 4/V„-i-/VF—|/Vs. (75)
Четыре члена возникают здесь из однопетлевых диаграмм, внутренние линии
которых являются соответственно либо гравитонными линиями, либо
материальными линиями спина 1, Ч2 или 0;
*) Вклады спина 0 см. в работе [156], вклады спина */2 — в работе [157],
вклады спина 1 — в работе [158], вклады гравитона — в работе [159].
444
С. Вейнберг
Nv и Ns — число действительных векторных и скалярных полей, а Nр— число
майорановских фермионных полей. Поэтому на первый взгляд кажется, что Ь>О
и, следовательно, общая теория относительности является асимптотически
безопасной в 2+е-измерениях при условии, что имеется достаточно
калибровочных полей, чтобы сбалансировать любые скалярные или фермионные
поля.
Однако прежде чем сделать какое-либо заключение, мы должны обратить
особое внимание на физическую интерпретацию соотношения (75). В чистой
общей теории относительности след вакуумных полевых уравнений Эйнштейна
дает R—0 для любой пространственно-временной размерности, поэтому, как
объяснено в разд. 3, коэффициент l/16nG этого лагранжиана не является
существенной связью, и нет никакой причины, по которой надо было бы
требовать достижения фиксированной точки при р->оо. То же самое верно,
если мы добавляем к теории любое число «фотонных» полей с чисто
гравитационными взаимодействиями; в этом случае полевые уравнения
Эйнштейна дают член gR, пропорциональный VF^F^, но уравнения Максвелла
позволяют нам переписать это в виде полной производной дц [VgX Av/r,ivl,
поэтому здесь дЗ!дО оказывается полной производной и G снова не является
существенной связью. (Простейшая теория, которая перенормируема в двух
измерениях и которая действительно имеет существенные связи,— это теория
Эйнштейна — Янга — Миллса [160]. В этом случае скорости реакций зависят
от единственной существенной связи e2eG2-e, где е — калибровочная
константа связи. Однако эта величина является безразмерной для всех е и
поэтому удовлетворяет тривиальному ренорм-групповому уравнению d(e28G2-
8)/dp=0.)
Недавно новую интерпретацию этих вычислений предложили Гастманс, Каллош и
Труффин [161] (см. также [127]) (ГКТ). Их исходный пункт состоит в
пересмотре структуры лагранжиана общей теории относительности. Гиббонс и
Хокинг [162, 163] 2) подчеркивали, что, применяя функциональный формализм
к общей теории относительности, мы используем в действительности не
