Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
эйнштейновский лагранжиан —Vg/?/16nG0, а скорее
где Ф — полная производная, составленная так, чтобы 3?0 была функцией
только от g^v и ее первых производных:
Конечно, добавление полной производной не играет роли, если мы
х) В работе [166] Кристенсен и Дафф связывают дополнительный член в (76)
с более ранней работой Арновитта, Дезера и Мизиера [164, 165].
(76)
(77)
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
445
ограничиваем наше внимание метриками, которые достаточно быстро убывают
при |АП-*оо, но в функциональной формулировке квантовой гравитации мы
должны суммировать по всем метрикам в евклидовом пространстве-времени, и
наличие Ф делает важным вклад в действие для некоторых из этих метрик,
таких, как евклидова метрика Шварцшильда.
Теперь, когда мы вычислили однопетлевые диаграммы в 2+е-измерениях, можно
ожидать найти полюсы 1/е при е-*0, которые требуют независимых
контрчленов, пропорциональных как VgR, так и Ф. ГКТ доказывают, что
поэтому лагранжиан должен записываться в таком случае в виде суммы двух
независимых членов:
*^g=— ЩхГ^— ф]— ШГ<У (78)
Используя след полевых уравнений Эйнштейна, мы можем выразить У gR в
терминах материальных полей, так что его коэффициент не является
независимой существенной связью. Однако гравитационная связь G0
появляется в коэффициенте отличного от него члена VgR—Ф, который не
задается полевыми уравнениями в терминах материальных полей, поэтому G0
есть независимая существенная связь. Другими словами, более ранние
вычисления [156— 159] дали правильные контрчлены в \/G0+\/Ft, однако
физически интересной существенной связью является 1/G0, и ее контрчлены
должны быть вычислены заново.
ГКТ вычислили полюсы в G0, требуемые для компенсации 1/е полюсов в
гравитационных функциях Грина в теории с Ns и Nv действительными
скалярными и векторными полями и NF и Л/д майорановскими полями спинов V,
и 3/2. Их результаты можно суммировать как утверждение, что G0 должна
иметь полюс (74), где Ь теперь определяется так:
6 = 4 [i Н-^А7д ——A7S], (79)
причем первый член появляется из гравитонных петель. Недавно Кристенсен и
Дафф [166] (КД) выполнили вычисление в том же направлении и нашли формулу
для Ь с другими фермионными вкладами:
& = -|[1-Л/д + Л+-Л/5]. (80)
В этом и другом случае существует асимптотически безопасная теория чистой
гравитации в 2+е-измерениях с одномерной критической поверхностью.
Асимптотическая безопасность сохраняется также, когда мы добавляем
материальные поля, при условии что мы добавляем поля спина 8/а (ГКТ) или
V» (КД), чтобы сбалансировать вклады полей спинов нуль и Va (ГКТ) или 8/а
(КД), и при условии
446
С. Вейнберг
также, что связи материальных полей между собой не создают проблем.
Можно заметить, что выражения (79) или (80) и (75) дают одинаковые
результаты для вклада в Ь скалярных частиц, так что в этом случае более
ранние вычисления [156—159] фактически дали контрчлены, пропорциональные
VgR—Ф, а не VgR. Согласно и ГКТ, и КД, новая характерная черта, вводимая
различием между VgR—Ф и VgR, заключается в том, что вклад в b частиц
произвольного спина просто пропорционален числу степеней свободы их
полей, но (согласно КД) с дополнительным знаком «минус» для фермионов.
(Множитель16/, в (79) здесь вносит путаницу.) Например, симметричное
бесшпуровое тензорное поле имеет J/a D (D+1)—1 независимых компонент, D
из которых исключается условием калибровки, определяющим dji§, и D—1
устраняются произволом в выполнении дополнительных калибровочных
преобразований 6/iliv=5^v+dv<^ti, где 5цФ‘*=0 и ?Ф|1=0, следовательно,
число степеней свободы гравитационного поля в D измерениях есть
i-D(D+ 1)-1_D-(D-1) = 1d(D —3).
Оно равно — 1 для D=2, поэтому вклад гравитона в b должен быть равным и
противоположным по знаку вкладу одной бесспиновой частицы. С другой
стороны, векторное поле Лц имеет D компонент, одна из которых устраняется
условием калибровки, определяющим дцЛ*1, а другая — произволом в
выполнении дополнительных калибровочных преобразований бЛ^д^Ф, где [ЦФ=0;
следовательно, число степеней свободы фотонного поля в D измерениях есть
D—2. Оно обращается в нуль при D=2, поэтому фотоны не дают вклада в Ь.
Поскольку вычисление вклада скалярных полей в Ь, очевидно, не создает
проблем, связанных с различием между VgR и VgR— —Ф, и поскольку этот
вклад устанавливает масштаб для вкладов частиц не нулевого спина,
интересно было бы провести несколько более подробное вычисление этой
величины. Расчет, основанный на методах [76 , 77], представлен в
приложении.
Интересно применить эти результаты к расширенным теориям супергравитации
1), в которых гравитон появляется в мультиплете с полями более низкого
спина. В четырехмерной теории с п^.7 генераторами суперсимметрии гравитон
спиральности +2 будет появляться в мультиплете с ["] безмассовыми
частицами спиральности 2—г/2, где r= 1, 2 п, и имеется отдельный
мультиплет,
содержащий —2-гравитон и ["] безмассовых частиц спиральности —2+/V2. Для
