Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
определяет силу дальнодействующего гравитонного обмена, есть
G = G„(1-2B(0)), (П. 10)
где G0—«голая» гравитационная постоянная. Следовательно, если 5(0) имеет
полюс при D=2 вида
В (0, D) —? тр (77^2) ’ <П11>
мы должны ввести в G0 полюс вида
»в-'а-г7га+Ь0,{вУ}- <П12>
Таким образом, величина b в (П. 11) является такой же, как в (71) — (73).
Наша задача заключается в вычислении вычета полюса в В(?2, D) при D= 2
и в определении b сравнением с (П. 11).
Для этой цели мы введем спектральные функции рА, р в по фор-
муле
2е" (Рп~Р) <01 Т^ (0) | п> <01 Гр° (0) | пу =
= (2я)-®+10 (/>») [рА (- р2) (р2)2 Lpv (р) Lp0 (р) -
- Р2Рв (- Л Ы ^vo (Р) + U"(Р)Lvp (р)~2L>IV (Р)
(П. 13)
Не учитывая возможных вычитаний, из (П.7), (П.8) и (П. 13) полу-
450
С. Ввйнберг
чаем
09
А (<?2) = 8nG J [q2 + lx2-ie]-' Pi4(pa) dp8, (П. 14)
0
со
B(<72) = 8aG J[<72 + ^-te]-VB(li2)dP2. (П.15)
о
Рассмотрим теперь вклад состояния, состоящего из пары идентичных
нейтральных бесспиновых частиц массы т и импульсов •+ —?
k, k', в рЛ и рв. В наинизшем порядке теории возмущений для любого D *)
<01Тi*v (0)| k, k'y = — (2л)-‘°-»> (2ш)-'/. (2(o')-*/.x
X J^|i?/V k’W -f (—kkk'x m2) —
№+k'r &+k'r - {k+k'f »r>], (П.16)
где
Уг° = ш = (?2 + т8)‘\ k0' = (o' = (%'* + m8)1/..
Уравнение (П.13) тогда дает
Pa№ = 4(2л)-о+»0оЛС-ц- [li?r-“(^» + 4lD^T)*]* (ПЛ7)
pB(P2) = Y(2n)-D+1«D^+V-3/(?>a-l)f (П.18)
где Qd — площадь поверхности единичной сферы в (D—1) прост-
ранственных измерениях
П0 = 2л(0-,)/2/Г
Теперь мы можем вычислить Ь. Функция B(q2, D) задается формулами (П. 15)
и (П. 18) как
В (q2 D) —_____~~9°_____ Г Jf m 19)
и, (0,_1)(2я)0.1 J p3(|i2+(?2)- 1П.1У)
4 m9
Этот интеграл является хорошо определенным для D<2 и может быть
аналитически продолжен до D>2 с полюсом при D=2:
в<«'°>ггЛ(Лг>)- (п-20»
1) В этой формуле подразумевается, что вид тензора энергии-импульса
«усовершенствован» для произвольного D способом, предложенным в работе
[167], однако это влияет лишь на А (</*), но не на В (q2).
Will. Ультрафиолетовые расходимости
451
Сравнивая с (П. 11), мы видим, что
b = —2/3 (П.21)
в согласии с (79) и (80) при Ns= 1.
Этот метод расчета имеет то преимущество, что позволяет нам делать выводы
общего характера относительно знака и других свойств спектральных функций
и вычетов при различных размерностях для промежуточных состояний
произвольного спина. Примем, что р в (П. 13) лежит во «временном»
направлении р=(0, . . ., 0, р), и свернем с а^Ь^а^Ьд, где а и Ь — чисто
пространственные векторы, разделенные углом Ф; это дает
(1 + tg ФУ рА (р’) р« - 4tg ф ра (р*) р’ ^ О (П.22)
для всех Ф и р. Для D—2 мы должны, конечно, принять Ф=0,
так что это дает только условие
Рл(И2)^0. (П.23)
Для целых размерностей D^s3 можно брать Ф произвольно; выбирая его так,
чтобы минимизировать левую часть (П.22), найдем
0 < Рв (Р2Х Ра (Р2) Р2- (П.24)
Наконец, для бесшпурового тензора энергии-импульса (П. 13) дает
0 = Ри (Р2) р2 (D - 1) + рв (р») (4 - 2D). (П.25)
В частности, рА(ра)=0 для D=2. Даже если конечные массы дают тензор
энергии-импульса с ненулевым следом, (П.25) будет асимптотически
справедливо при р->оо, поэтому интеграл (П. 14) для А (<72) не будет
иметь полюса при D=2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Heisenberg W., Z. Physik, 110, 251 (1938).
2. Heisenberg W., Physik, 101. 251 (1938); Z. Physik, 113, 61 (1939).
3. Sakata S., Umezawava H., Kamefuchi S., Progr. Theor. Phys., 7, 327
(1952).
4. Feynman R. P., Acta Phys. Polon., 24, 697 (1963).
5. DeWitt B. S., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967); erratum Phvs. Rev.,
171, 1834 (1968).
6. Faddeev L. D., Popov V. N., Phys. Lett., B25, 29 (1967).
7. Mandelstam S., Phys. Rev., 175, 1604 (1968).
8. Fradkin E. S., Tyutin J. V„ Phys. Rev., 2 , 2841 (1970).
9. Fradkin E. S., Vilkowsky G. A., Phys. Lett., 55B, 224 (1975); Nuovo
Cimento, 13, 187 (1975).
10. Duff M. JIn: Quantum gravity, eds. Isham C. J., Penrose, Sciama D.
W., Oxford Univ. Press, 1975.
11. 't Hooft G., Nucl. Phys., B62, 444 (1973).
12. 't Hooft G., Veltman М., Ann. Inst. Poincare, 20, 69 (1974).
13. Deser S., van N ieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 32, 245 (1974).
14. Deser S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D10, 401, 411
(1974).
15. Deser S., Tsao H.-S., van Nieuwenhuuizen P., Phys. Lett., 50B, 491
(1974).
16. Weinberg S., Phys. Rev., 140, B546 (1965).
17. Utiyama R., DeWitt B. S., J. Math. Phys., 3, 608 (1962).
452
С. Вейнберг
18. Georgi Н., Quinn Н., Weinberg S., Phys. Rev. Lett., 33, 451 (1974).
19. Planck М., Sitz. Deut. Akad. Wiss. (Berlin), 440 (1899).
20. Weinberg S., Gravitation and Cosmology—Principles and
Applications of the
General Theory of Relativity, Wiley, New York, 1972. [Имеется
перевод:
Вейнберг С. Гравитация и космология.— М.: Мир, 1975.]
21. Gell-Mann М., Low F. Е., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).
22. Stueckelberg Е. С. G., Petermann A., Helv. Phys. Acta, 26, 499
(1953).
23. Wilson К. G., Kogut J., Phys. Rep., 12C, No. 2 (1974).
24. Fisher М. E., Rev. Mod. Phys., 46, 597 (1974).
