Общая теория относительности - Хокинга В.
Скачать (прямая ссылка):
п=8 существует единственный мультиплет, содержащий гравитоны спиральности
±2 и [?] безмассовых частиц спиральности 2—г/2. Мы предполагаем, что для
произвольной про-
1) Си. примечание 2) на с. 411.
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
447
странственно-временнбй размерности число полей данного спина S равно
числу полей этого спина в четырех измерениях и, следовательно, числу
состояний в четырех измерениях со спиральностью +S (или —S, но не обеих
сразу), даже если суперсимметрия фактически присутствует только для
четырех измерений. Числа (Уд, Nv, NР, Ns полей спина 3/2 1, V2, 0 в О(л)-
расширенной супергравитации представлены в табл. 1 вместе со значениями
Ь, полученными из (79) или (80). Согласно ГКТ-результатам, Ь>0 для чистой
супергравитации (л=1), а также для О(л)-расширенной супергравитации с
п^.5. Однако если результаты КД справедливы, то требуется двухпетлевой
расчет для того, чтобы решить вопрос об асимптотической безопасности в
чистой супергравитации, хотя мы всегда будем иметь Ь>0 для п= 1, если
добавить достаточно «векторных» супермультиплетов со спинами 1 и V2.
Согласно КД-ре-зультату, оказывается невозможным иметь Ь>0 в О (л)-
расширенной супергравитации с п^2 независимо от того, добавляем ли мы
дополнительные материальные супермультиплеты.
Таблица 1
Числа типов полей и значения Ь в расширенных суперсимметричиых теориях с
п генераторами суперсимметрии
п Nv Nt Ns зь (ГКТ) 3b (КД)
0 0 0 0 0 2 2
1 1 0 0 0 17 0
2 2 1 0 0 32 —2
3 3 3 1 0 45 —2
4 4 6 4 2 50 —2
5 5 10 11 10 35 —6
6 6 16 26 30 -20 -18
7 8 28 56 70 —130 -42
8 8 28 56 70 -430 -42
Практически важным здесь является вопрос о продолжении на четыре
измерения. В этом вопросе формализм размерной регуляризации в 2+е-
измерениях может несколько вводить в заблуждение. Верно, что
асимптотически безопасная теория гравитации в этом формализме
основывается на лагранжианах, которые должны быть перенормируемыми в двух
измерениях, и эти лагранжианы не содержат каких-либо контрчленов, которые
компенсировали бы полюсы в фейнмановских диаграммах при пространственно-
временнбй размерности D=4. Однако наличие этих полюсов указывает, что
разложение в ряд теории возмущений по степеням в потеряет смысл задолго
до того, как мы достигнем е=2.
448
С. Вейнберг
Более благоприятная картина возможностей продолжения от 2+е к четырем
измерениям может быть получена в обычной пере-нормировочной схеме, с
которой мы начинали в разд. 3. В этом формализме интегралы регулируются
некоторой процедурой ультрафиолетового обрезания Л, и зависимость от
обрезания при Л—?оо устраняется сокращением с контрчленами, которые дают
неперенормированные константы связи. Имеется бесконечное число
контрчленов, возникающих при D>2, и такая теория гравитации не может
называться перенормируемой в обычном смысле, однако не имеется также
никаких новых особенностей, появляющихся при приближении D к четырем.
Один результат метода размерной регуляризации, который может быть прямо
перенесен в обычную перенормировочную схему, заключается в том, что в
2+е-изме-рениях для достаточно малого е существует фиксированная точка с
ультрафиолетовой критической поверхностью конечной размерности.
БЛАГОДАРНОСТИ
Мне приятно поблагодарить С. Коулмена, С. Дезера и М. Дж. Даффа за их
частую и полезную помощь в подготовке этой статьи. Я также признателен Л.
Брауну, С. Кристенсену, Дж. К. Коллинзу, Б. Де Витту, Е. С. Фрадкину, Г.
т’Хофту, Б. Ли, П. Мартину, Д. Нельсону, А. Саламу, X. Шнитцеру, Л.
Смоллину, X. С. Цао, П. ван Ньювенхьюзену, К. Вильсону, Е. Виттену и Б.
Зумино за информативные обсуждения различных конкретных проблем.
7. ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ Ь
В этом приложении дается расчет вычета полюса с «голой» гравитационной
постоянной при D=2, полученной с использованием метода работ [76, 77].
Введем гравитационное поле h^v, такое, что
J?|iv = Tluv + (32лО)‘А/1^, (П.1)
и будем работать в калибровке, в которой
dJp* = o. (П.2)
(Индексы здесь поднимаются и опускаются с помощью т^, а не g^y.) «Голый»
гравитонный пропагатор пространственно-временной размерности D есть тогда
<Т {h^y (х), Ляр (0)}>0 = J xAnv, *р(9), (П.3)
^i*v, Ар (Я) — цг |^рр (Я) Lvk (я) + Аря (д) LyP (q) — q_2 (я) ^кр(я)
J !
(П.4)
J-I.V (я) ™ Thiv — ЯрЯу 'Я2- (П .?)
VIII. Ультрафиолетовые расходимости
449
В однопетлевом порядке этот пропагатор принимает вид
A|iv, яр (?)= ^nv, яр (?) + ApV, p'v' (Ч) П*1 v ‘х р (Ч) Avp\ яр (?)*
(П.6)
где П — тензор гравитонной поляризации вакуума, определяемый как
<Т {Т^(*), Т>-р (0)}>о = Й J ^ ft). (п.7)
Так как тензор энергии-импульса сохраняется, П можно записать как
Пи*, яр (q) = (,72)* А (?2) L»v (?) Lxе (?) —
-?2 В (Ч2) [L* (?) L*p (?) + Lpp (?) LvX (?) -2LP'1 (?) (?)], (П.8)
где А (?2) и В (?2) свободны от полюсов при ?2=0. Теперь можно прямо
вычислить исправленный пропагатор как
я<4?) = 57, (1 - 2В (?2)) [/.«> (?) (?) +
+ L(?) Lvp (?) - ^ Lpv ((?) Z> (?)] + Lpv ((?) Vр (?). (П.9)
Мы видим, что перенормированная гравитационная постоянная, которая
